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第4章(微分学应用)之内容方法 本章以导数为工具，结合函数、极限、连续等概念，综合地用来对函数的性态进行较全面的研究以及解决一些较简单的实际问题。微分学应用的理论基础是微分中值定理。 本章重点：微分中值定理；罗彼塔法则；函数的极值及其求法；函数的最大、最小值及其应用问题；难点是函数的最大、最小值及其应用问题。 4-1 微分学中值定理 微分学中值定理是本章的理论基础。它指的是拉格朗日中值定理。而罗尔定理是其特例，柯西定理是其推广。 罗尔定理：如果函数在闭区间连续，在开区间可导，且，那么在内至少有一点c，使 ， 。 罗尔定理的几何意义是：闭区间上连续，开区间内可导且两端点函数值相等的函数，至少必有一点存在水平切线。 拉格朗日定理：如果函数在区间连续，在开区间可导，那么至少有一点c，使 成立。 拉格朗日中值定理的几何意义是：在闭区间内连续，在开区间内可导的函数，必有一点，其切线平行于两端点所连的割线。 若，则拉格朗日中值定理即是罗尔定理的情形。 柯西定理：如果函数在闭区间连续，在开区间可导，而且，则在内至少有一点c，使得 。 柯西定理是拉格朗日定理的参数形式。从另一个角度来看，若在柯西定理中，令，则柯西定理的这一特殊情形即是拉格朗日中值定理。柯西定理是罗彼塔法则的理论依据。微分中值定理还可解决一些不等式的证明问题。 4-2 未定式问题 所谓未定式问题就是型，型及可化为这两种形式的极限的计算问题。形如称为型未定式，称为型未定式，其他如型，型， 型，型及型等均为可化为这两种形式。 型未定式及型未定式的求法由下述定理给出。 以下用lim来表示，，，等极限过程中的某一个。 定理：设满足下列条件： （1）在的某去心邻域内可导（对而言）或在m内可导（对而言）且。 （2）为型或型未定式。 （3）（λ为实数或λ=∞） 则。 此方法称为罗彼塔法则。应用此法求极限时应特别注意三点： 先判断所求极限是型或型未定式。 若用此法一次后仍然为未定式，则可以连续使用，直到求出为止。 对型未定式，， 由可化为型； 对于0? ∞型未定式， 由或可化为型或型未定式； 对于型，型及型未定式，由可化为0? ∞型。 4-3 函数的单调性与极值 判断函数的单调性时，以前只会用其定义。学习微积分后，可以使用导数这一工具来判断。其理论依据还是拉格朗日中值定理。 函数增减性的判定：设在上连续，在内可导。 在上f(x)单调增在内； 在上f(x)单调减在内； 在上f(x)为常数在内； 这样，在求函数的单调性区间时，应求出的点（称为驻点）。驻点将定义域 分成若干区间，在每个区间上判断的符号。 与单调性紧密相关的是函数的极值。 极值的定义：如果在的某邻域内恒有，则称在取得极大值，称为极大值点；类似地，若很有，则称在取得极小值，称为极小值点。 该定义是非常直观的。而且由导数的定义可得出为极值点的一个必要条件。 极值必要条件：如果函数在可导，且在取得极值，那么。 只是可导函数在取极值的必要条件，而非充分条件。如立方抛物线在处，但0不是极值点。另外，在导数不存在的点也可能取得极值。例如在处导数不存在，但是极小值点。驻点和导数不存在的点统称为临界点。对于临界点，有两个用来判断其是否为极值的充分条件。 极值充分条件一：设函数在连续，且在的去心邻域内可导， 当x时，而当x时，那么在取得极大值； 当x时，而当x时，那么在取得极小值； 当x和x时不变号，则在不取得极值； 极值充分条件二：设函数在有二阶导数，且但，则 当时，在取得极小值； 当时，在取得极大值。 4-4 函数的最大、最小值及其应用问题 函数在区间内的最大值的求法：求函数的各临界点，计算各临界点得函数值并两 端点的函数值比较即可得出其最大、最小值。对于许多实际应用问题，根据经验知它必有最值，而在其定义域区间又只有一个极值，则该极值必是最值。 4-5 曲线的凹凸与拐点 从曲线上凹和下凹的直观图形可给出其数学定义。 凹向：一个可导函数的图形，如果在区间I的曲线都位于该曲线某一点处切线的上方（下方），那么称在区间I上凹（下凹）。 判定曲线凹向的方法： 在使的区间，曲线上凹； 在使的区间，曲线下凹。 拐点：一条处处具有切线的连续曲线的上凹与下凹部分的分界点称为曲线拐 点。 拐点判定法：设连续函数在的某邻域内二阶可导，且或不存在，而在的左、右邻域内分别有确定的符号，如果在这邻域内 当x与x时异号，那么(,)是曲线的拐点。 当x与x时同号，那么(,)不是曲线的拐点。 4-6 函数作图 基于前几节对函数性态的讨论，可以画出函数的略图。具体步骤如下： 确定函数的定义域，间断点，奇偶性，周期性，对称性等； 求出的一、二阶导数，并求出使，的点和和 不存在的点以及，用作分点将的定义