第一章 矩陣與線性方程組.doc

第一章??? 矩陣與線性方程組 1-1 矩陣的意義 定義： HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%95%B8%E5%AD%B8variant=zh-tw \o 數學 數學上，一個m×n矩陣乃一m列n行的 HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%9F%A9%E5%BD%A2variant=zh-tw \o 矩形 矩形陣列。矩陣由 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%95%B8variant=zh-tw \o 數 數組成，或更一般的，由某 HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%92%B0variant=zh-tw \o 環 環中 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%85%83%E7%B4%A0variant=zh-tw \o 元素 元素組成。 【例】以下是一個 4 × 3 矩陣： 某矩陣 A 的第 i 列第 j 行，或 i,j位，通常記為 A[i,j]　或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。　 ? ? 1-2 矩陣之基本運算 定義：矩陣相加減 ?????????? ?????? 【例】 ?????????????????? ? 及? 【解】 ?????????????????? ?????????????????? 定義：矩陣相乘 矩陣及，，為一個階數等於之矩陣，且?? 【例】 ?????????????????? ?， ??，? 若與，則 ????????? ????????? 定義：轉置矩陣MT中第i行第j列的元素即為原矩陣M中之第i列第j行的元素 【例】 ，使得。 1-3 逆方陣 定義： 若，，使得時，則稱B為A的逆方陣或反方陣。此時，A稱為可逆方陣或非奇異方陣，通常以表示A的逆方陣。反之，若不存在B，則稱A為奇異方陣。 【例】 【解】 1-4　線性方程組的解法 定義： 1、若nm，則n個未知數及m個線性方程式的齊次方程組有一組非必然解。 2 、若A為n階方陣，，則齊次方程組 AX=0，有一組非必然解的充要條件是A? 為奇異方陣。 3、若，則下列的敘述為同義。 (1)A為可逆方陣。 (2)AX=0僅有必然解。 (3) A是列同義於。 4、令AX=B為具有n個變數及n個一次方程式的方程組。若存在，則此方程組之解為唯一，且。 【例】 【解】 第二章 向量空間與線性變換 2-1 三維空間中向量之性質 定義：單位向量就是長度為 1 的 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%90%91%E9%87%8Fvariant=zh-tw \o 向量 向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如：?。 一個非零向量 u 的正規化向量 ? 就是平行於 u 的單位向量： 定義：空間中向量之性質 若u，v及w為空間中的向量，而為實數，則下列性質成立 (1) u + v = v + u (2) (u + v) + w =? u + ( v + w) (3) u + 0 = 0 + u = u，0為零向量 (4) 存在-u 使得 u + (-u) = (-u) + u = 0 (5) (6) (7) (8)1u = u 2-2 三維空間中向量的內積 定義： 兩向量 A 和 B 的內積寫成 A × B，讀作 A dot B，定義為 A 和 B 兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，如下圖所示，其方程式之形式為 A × B = AB cosq? 其中 0° ￡ q ￡ 180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。 運算法則 1. 交換律：A × B = B × A 2. 與一純量相乘：a (A × B) = (aA) × B = A × (aB) = (A × B) a 3. 分配律：A × (B + D) = (A × B) + (A × D) 　 【例】 【解】 2-3 向量空間與子空間 定義：向量空間 給出 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%9F%9F_%28%E6%95%B8%E5%AD%B8%29variant=zh-tw \o 域 (數學) 域 F，一個向量空間是個 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88variant=zh-tw \o 集合 集合 V 加上兩個運算： 向量加法：V × V → V 記作 v + w, ? v, w ∈ V， 標量乘法：F × V → V 記作 a v, ?a ∈ F 及 v ∈ V。 都符合下列 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%85%AC%E7%90%86variant=zh-tw