第七节 常微分方程与拉氏变换实验.doc

PAGE 3 PAGE 75 常微分方程、拉氏变换与级数实验 [学习目标] 会用Mathematica求解微分方程（组）； 能用Mathematica求微分方程（组）的数值解； 会利用Mathematica进行拉氏变换与逆变换； 能进行幂级数和傅里叶级数的展开。 常微分方程（组） Mathematica能求常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外，Mathematica求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本节中，使用Laplace变换解常微分方程（组）的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法如今可以轻而易举的实现了。 求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn，y[x]，x] 求方程eqn的通解y（x），其中自变量是x。 DSolve[{eqn，y[x0]= =y0}，y[x]，x] 求满足初始条件y（x0）= y0的特解y（x）。 DSolve[{eqn1，eqn2，…}，{y1[x]，y2[x]，…}，x] 求方程组的通解。 DSolve[{equ1，…，y1[x0]= =y10，…}，{y1[x]，y2[x]，…}，x] 求方程组的特解。 说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。 解下列常微分方程（组）： （1），（2）， （3） ， （4）的通解及满足初始条件y（0）=0，z（0）=1的特解。 解：In[1]：=DSolve[y′[x]= =2y[x]/（x+1）+（x+1）^（5/2）， y[x]，x] Out[1]= In[2]：=DSolve[y′[x]= =（1+y[x]^2）/((x+x^3）y[x])，y[x]，x] Out[2]={{}， {}} In[3]：=DSolve[{y′[x]= =z[x]，z′[x]= = -y[x]}， {y[x]，z[x]}，x] Out[3]={{y[x]→C[1]Cos[x]+ C[2]Sin[x]， z[x]→C[2]Cos[x]- C[1]Sin[x]}} In[4]：=DSolve[{y′[x]= =z[x]，z′[x]= = -y[x]，y[0]= =0，z[0]= =1}， {y[x]，z[x]}，x] Out[4]={{y[x]→Sin[x]，z[x]→Cos[x]}} 提示：认真观察上例，可以从中学习输入格式，未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错！导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数，这与习惯相同。自变量、未知量、初始值的表示法与普通变量相同。 说明：输出结果总是尽量用显式解表出，有时反而会使表达式变得复杂，这与教科书的习惯不同。当求显式解遇到问题时，会给出提示。通解中的任意常数用C[1]，C[2]，…表示。 求解下列微分方程： （1），（2），（3）。 解：In[1]：=DSolve[+3y″[x] +3y′[x] + y[x] = =（x - 5）Exp[-x]， y[x]，x] Out[1]={{ }} In[2]：=Simplify[%] Out[2]={{}} In[3]：=DSolve[x^2 + y′[x]^2 = = 1，y[x]，x] Out[3]={{}， {}} In[4]：=DSolve[Sqrt[y′[x]] = = x y[x]，y[x]，x] Out[4]={{}} 说明：由以上可以看出对方程的类型并无限制，但是输出的答案未必符合习惯，例如第一个方程的答案需要化简，有时即使化简后也未必与教材上的答案一致。 求微分方程的通解。 解：In[1]：=DSolve[y′[x]+2x y[x]= = x E^（-x^2），y[x]，x] Out[1]={{y[x]→}} 这