第七讲 直线和平面.doc

数学专题讲座（八） 高三高考专栏第七讲 直线和平面 2002-06-07 高考专栏 第七讲 直线和平面 PAGE 20/ NUMPAGES 20 第七讲 直线和平面 知识要点 （一）平面的概念及有关内容 1．立体几何的研究对象是空间图形，空间图形是由空间的点、线、面所构成，也可以看成是空间点的集合．柱、锥、台、球等都属于空间图形．平面图形是空间图形的一部分．凡是平面几何里的定义、定理等，对于空间的任何平面内的平面图形仍然适用，但对于非平面图形，则需要经过证明才能应用． 2．平面基本性质的三条公理及推论，是学习研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是立体几何解题的重要思想方法． （1）公理1是判定直线是否在平面内的依据． （2）公理2是确定两个平面相交于一条直线的依据． （3）公理3及其推论给出了确定平面位置的方法和途径． 3．证明空间点共线、线共点、点共面及线共面的有关问题． （1）证明空间三点共线通常证明这些点都在两个平面的交线上． （2）证明空间三线共点，常用三个平面两两相交，三条交线共点（或平行）证明． （3）证明空间诸点共面，可先取不共线的三点确定一个平面，再证其余点都在这平面内． （4）证明空间几条直线共面，可先确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内． （二）直线与直线、直线与平面、平面与平面 1．位置关系 2．平行 （1）直线与直线平行 判定：①公理4（P12）；②P21定理；③P26定理；④P36定理；⑤平几方法． 性质：①公理4；②P13等角定理；③判定线面平行（P20）；④判定线面垂直（P25）． （2）直线与平面平行 判定：①据定义判定（P18）；②P20线面平行判定；③P36两平行平面性质． 性质：①直线与平面无公共点（定义）；②P21定理． （3）平面与平面平行 判定：①据定义判定（P34）；②P35判定定理；③P35例1． 性质：①无公共点；②P36性质定理；③夹在其中的平行线段相等（P38）；④平行平面唯一性（P38）． 3．垂直 （1）直线与平面垂直 判定：①据定义判定（P24）；②判定定理（P24）． 性质：①直线垂直平面内任一直线（定义）；②P26性质定理；③P25例；④垂线或垂面的唯一性（P24第三行）． （2）平面与平面垂直 判定：①据定义判定（P34）；②P42判定定理． 性质：①所成二面角为直二面角（定义）；②P43性质定理；③P43例1． 4．直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直均可以相互转化，注意掌握这些位置关系转化的条件．因此要判定论证某一平行或垂直的过程就是从平行或垂直出发不断转化的过程．解题要充分把握这一特点，灵活确定转化思路和方向． （三）角和距离 1．三垂线定理和三垂线逆定理 （1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． （2）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 2．角 （1）空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角．要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]． （2）空间角的计算方法 ①异面直线所成的角，根据定义采用“平移转化法”，使之成为相交直线所成的角． ②直线与平面所成的角，除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”． ③二面角的度量是通过其平面角来实现的．解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键．通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ? ＝，其中S 为斜面面积，S′为射影面积，? 为斜面与射影面所成的二面角． 3．距离 （1）空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距．其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的． ①点到平面的距离：平面外一点P 在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离． ②异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． ③直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． ④平行平面间的距离：两个平行平面的公垂