第七讲 函数的最大值与最小值.doc

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第七讲 函数的最大值与最小值

第七讲 函数的最大值与最小值 我们常常遇到求最大值和最小值的问题,在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值.这类问题涉及的知识面广,综合性强,解法灵活,因而对于培养学生的数学能力具有重要作用.本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题. 1.一次函数的最大值与最小值 一次函数y=kx+b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的,但是,如果对自变量x的取值范围有所限制时,一次函数就可能有最大值和最小值了. 例1 设a是大于零的常数,且a≠1, 求y的最大值与最小值. 大值a. 例2 已知x,y,z是非负实数,且满足条件 x+y+z=30,3x+y-z=50. 求u=5x+4y+2z的最大值和最小值. 分析 题设条件给出两个方程,三个未知数x,y,z,当然,x,y,z的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个,不妨固定x,那么y,z都可以用x来表示,于是u便是x的函数了. 解 从已知条件可解得 y=40-2x,z=x-10. 所以 u=5x+4y+2z =5x+4(40-2x)+2(x-10) =-x+140. 又y,z均为非负实数,所以 解得10≤x≤20. 由于函数u=-x+140是随着x的增加而减小的,所以当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120. 2.二次函数的最大值与最小值 例3 已知x1,x2是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0 解 由于二次方程有实根,所以 △=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0, 3k2+16k+16≤0, 例4 已知函数 有最大值-3,求实数a的值. 解 因为 的范围内分三种情况讨论. -a2+4a-1=-3 例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3-12),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积. 解 设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,于是矩形PNDM的面积 S=xy,2≤X≤4. 易知CN=4-x,EM=4-y,且有 二次函数S=f(x)的图像开口向下,对称轴为x=5,故当x≤5时,函数值是随x的增加而增加,所以,对满足2≤x≤4的S来说,当x=4时有最大值 例6 设p>0,x=p时,二次函数f(x)有最大值5,二次函数g(x)的最小值为-2,且g(p)=25,f(x)+g(x)=x2+16x+13.求g(x)的解析式和p的值. 解 由题设知 f(p)=5,g(p)=25, f(p)+g(p)=p2+16p+13, 所以 p2+16p+13=30, p=1(p=-17舍去). 由于f(x)在x=1时有最大值5,故设 f(x)=a(x-1)2+5,a<0, 所以 g(x)=x2+16x+13-f(x) =(1-a)x2+2(a+8)x+8-a. 由于g(x)的最小值是-2,于是 解得a=-2,从而 g(x)=3x2+12x+10. 3.分式函数的最大值与最小值 法是去分母后,化为关于x的二次方程,然后用判别式△≥0,得出y的取值范围,进而定出y的最大值和最小值. 解 去分母、整理得 (2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0. △≥0,即 △=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)≥0, 解得 -4≤y≤1. 时,取最小值-4,当x=-2时,y取最大值1. 说明 本题求最值的方法叫作判别法,这也是一种常用的方法.但在用判别法求最值时,应特别注意这个最值能否取到,即是否有与最值相应的x值. 解 将原函数去分母,并整理得 yx2-ax+(y-b)=0. 因x是实数,故 △=(-a)2-4·y·(y-b)≥0, 由题设知,y的最大值为4,最小值为-1,所以 (y+1)(y-4)≤0, 即 y2-3y-4≤0. ② 由①,②得 所以a=±4,b=3. 4.其他函数的最大值与最小值 处理一般函数的最大值与最小值,我们常常用不等式来估计上界或下界,进而构造例子来说明能取到这个上界或下界. 解 先估计y的下界. 又当x=1时,y=1,所以,y的最小值为1. 说明 在求最小(大)值,估计了下(上)界后,一定要举例说明这个界是能取到的,才能说这就是最小(大)值,否则就不一定对了.例如,本题我们也可以这样估计: 但无论x取什么值时,y取不到-3,即-3不能作为y的最小值. 例10 设x,y是实数,求u=x2+xy+y2-x-2y的最小值. 分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数),进行配方后,再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数,再配方后,便可估计出下界来. 又当x=0,y=1时,u=-1,所以,u的最小值为-1. 例11 求函数 的最大值,并求此时的x值,其中[

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