第三章 二次曲面.doc

PAGE PAGE 17 第三章 二次曲面 1．求下列球面的中心和半径： 1）； 解：原方程化为：，则球面中心（6,-2,3），半径R=7 2）； 解：原方程化为：，则球面中心（1,-2,3），半径R=6 3）。 解：原方程化为：，则球面中心（-4,0,0），半径R=4 2．求下列圆的中心和半径： 1） 解：球面方程为：，则球面心0（6,-2,3），半径R=5 球心O到平面a:2x+y+z+1=0的距离 ∴平面a与球不相交 故只能形成虚圆。 2） 解：球心O（0，0，0），半径为R，则： 球心O到平面的距离 要能形成圆，则球面必须与平面相交，即： 设球O到平面上的垂足为为球面与平面相交所形成的圆的圆心，即 平面，又设：，则： ，即： 设圆的半径为r，则：r= ∴圆的中心， 半径r= 3．求下列球面的方程： 1）过点（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐标原点； 解：设球面方程为：，则： ∴所求球面方程为： 2）过点（1，2，5），与三个坐标平面相切； 解：设球面方程为：，则： ∴所求球面方程为： 3）过点（2，-4，3），且包含圆：。 解：由题可知球心在z轴，设球心坐标为（0，0，C），则：球的半径为：R2=C2+5 设球的方程为：，则：4+16+（3-c）2=c2+5 ∴c=4 ∴所求球的方程为： 4．求半径为、对称轴为的圆柱面的方程。 解：法一：设点（x, y, z）为圆柱面上任意一点，则该点到对称轴的距离为： ∵d=2 ∴ 即： ∴所球圆柱面的方程为： 法二：∵对称轴方程为 ∴对称轴过原点（0，0，0） 设为圆柱面上任意一点，再在对称轴上取一点 使得对称轴，由题意有： 对称轴 在对称轴上 消去参数得圆柱面方程为： 5．设圆柱面的对称轴为直线：，且知点M（1，-2，1）在这个圆柱面上，求这个圆柱面的方程。 解：法一：圆柱面的对称轴： 点M到对称轴的距离为： 设点（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则： 即： ∴所球圆柱面的方程为： 法二：设圆柱面的对称轴为 即M（1，-2，1）到l的距离：，l过点A（0，1，-3） 设点P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则：为对称轴上一点，使得： PM0在同一纬圆上，且M0为该纬圆的圆心，依题意有： 在l上 消去数得圆柱方程为： 6．求顶点为（1，2，3），轴与平面2x+2y-z+1=0垂直、母线和轴夹角为的圆柱面的方程。 解：设顶点A（1，2，3），在圆锥面上任取一点M（x, y, z），则过点A，M的直线l的方向数为（x-1, y-2, z-3）因轴与平面2x+2y-z+1=0垂直，则轴的方向数为（2，2，-1），即轴的方向余弦为（），直线l的方向余弦为因直线l与轴的夹角为，则： 整理即得圆锥面方程为： 7．求顶点为（1，2，4），轴与平面垂直且经过点（3，2，1）的圆锥面的方程。 解：设M（1，2，4），P0（3，2，1），=（2，0，-3）轴的方向数为：（2,2,1) 的夹角为： 设点P（x, y, z）是圆锥面上的任意一点，则： 以： 即： ∴所求圆锥面的方程为： 8．给定球面，求 1）过点（1，5，2）的切平面的方程； 解：球面方程为： 平面的法向量为：（2，3，4） ∴所求平面方程为： 2）以（2，6，10）为顶点的切锥面的方程。 解：球心0（-1，2，-2），半径R=，切锥面顶点P（2，6，10） 轴的方向数为： 轴与母线夹角的余弦为： 设点M（x, y, z）为切锥面上的点，则： 故：所求方程为： 9．已知圆柱面的三条母线为求这圆柱面的方程。 解：法一：由题知圆柱面的轴线的方向数为（1，1，1）， 设点A（x1, y1, z1）在轴线上，则： 令x1=1，则：A（1，0，2） 轴线方程为：x-1=y=z-2 母线与轴线间的距离为：，设点P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则： 即 故：所求圆柱面的方程为： 法二：因三条母线，分别过定点A1（0，0，0），A2（1，-1，0），A3（1，-1，0），设过A1，A2，A3后平面 则有：则：A=B=C，D=0 即平面，则圆柱面的准线为平面相交所形成的圆，设圆的方程为： ∵A1（0，0，0），A2（-1，0，1），A3（1，-1，0）在圆上，则有 ∵C是任意的 ∴取C=0，则：A=2，B=4，C=0，D=0 故准线方程为： 设M0（x0, y0, z0）是准线上的任意一点，M（x, y, z）为相应母线上一点，则有： 消去参数，得圆柱面方程： 10．求柱面的方程： 1）准线为： 母线平行于X轴； 解：母线的方向数为（1，0，0） 设P（x, y, z）是柱面上的点，M（x, y, z）是准