第九讲 向量空间.doc

第九讲 向量空间 教学目的： 介绍向量空间的狭义概念、向量空间的线性结构、线性子空间； 引进空间的基本度量，介绍正交及规范正交基的概念（正交阵在下一次讲）。 教学内容： 第五章 向量空间 教材相关部分： 向 量 空 间 本章首先从中向量的线性关系出发，建立起向量空间的概念，然后通过定义内积建立起向量空间的度量关系。 § 5.1 向 量 空 间 第三章讨论了中向量的线性运算、向量组的线性相关性等，而对向量关系更广泛的讨论和应用常需要完备的向量组，这就是本节所要讨论的——向量空间。 向量空间的定义 定义5.1 设为的一个非空子集，如果满足： （1）对加法运算是封闭的，即中任意两个向量的和向量仍在中; （2）对数乘运算是封闭的，即中任意向量与任一实数的乘积仍在中； 就称关于向量的线性运算构成（实数域上的）向量空间。 向量集合对加法和数乘运算封闭常常称它满足完备性，又由第三章定义3.2知道向量的线性运算必满足规范性的八条性质，因此，向量空间具有完备性与规范性。容易验证以前所提及的向量集、、和本身都是典型的向量空间。 例5.1 设，则显然非空。下面验证其封闭性： 因此关于中的线性运算构成向量空间。事实上，是三维立体空间中的坐标平面。 设，它关于中的线性运算是否能构成向量空间？ 解 是的子集，容易发现不封闭：若、，则2≠1； 同时中也没有零元，因为；而若，则，故中的元素也没有负元。这几条中的任何一条都足以表明不能构成向量空间。 设，它关于中的线性运算是否构成向量空间？ 解 ，应有、。，线性组合满足，故；零元存在：上式中取即是；的负元存在：上式中即是。于是关于中的线性运算封闭，故能构成向量空间。 从几何上看，是中经过原点的一张超平面。虽也是一张超平面，但不经过原点。 由这些例子可以看到，不仅是空间向量，的某些子集也可以构成向量空间，只要它们关于的线性运算满足封闭性。 向量空间的基和维数 定义5.2 设是一个向量空间，是中的一组向量，如果满足： (1) 线性无关； (2) 中的向量都可以由线性表示； 则称是的一个基，称为的维数，称是维向量空间，记作。 在中，1就是一个基，所以是一维向量空间；在中，（1，0）、（0，1）是一个基，所以是2维向量空间；在中，、、是一个基，所以是3维向量空间。在中的基本向量就是一个基，所以是维向量空间。 在例5.1中，（1，0，0）、（0，1，0）可作的基，故是2维空间；而在例5.3中，、、……、 可作的基，故是维空间。 向量空间的极大无关组就是一个基，该空间中的任何向量都可以由基线性表示，且表示式是唯一的，这唯一的表示系数，也就成了这个向量在该空间中的一个指标。 定义5.3 设是一个向量空间，是的一个基，，若可由这个基表示为： ( 或) (5.1) 则称表示系数为在基下的坐标。 在中，若以1为基，则任一实数的坐标也就是其本身； 在中，若以、为基，则向量的坐标也就是其本身； 在中，向量在基、、之下的坐标也就是其本身。 在上面三种我们最熟悉的空间中，这三组基是标准基，但如果改用别的基，坐标会相应地发生变化。 若在例5.1中取、作的基，而在例5.3中取 、、…、 作的基，试分别求中向量、中的向量在所取基之下的坐标。 解 在中，令，解得：，这就是向量在所取基之下的坐标。 在中，为便于解方程组，我们将所有向量写成列向量，令 ， 容易解得，这便是所求的坐标。 向量空间的子空间： 定义5.4 设是向量空间的一个子集, 如果关于中的线性运算，也能构成向量空间，则称是的一个子空间。 作为子集，显然有，因此。的任一个基必含于的某一个基之中，因而总可以扩展为的一个基。 在上面各例中, 是的一个2维子空间；是的一个维子空间。 例5.8设、, 、的所有实系数线性组合的集合记作 ， 试证：关于中的线性运算构成向量空间。 证 ，记 ，则 ，且 ，故 。因此，关于中的线性运算构成向量空间。◆ 注意到是的子集，称此空间为由、所生成的子空间（或称为、的生成子空间），记作；、称为它的生成元。 生成空间的概念是一个重要的概念。事实上任何向量空间都可以表达为它的任一个基的生成空间。 例5.9设齐次方程组，记它的解集为。证明关于向量通常的线性运算构成向量空间。 证 ，有、，则；，亦有，于是是完备的，关于向量通常的线性运算构成向量空间。称为齐次方程组的解空间。若，则的维数为（见第四章定理4.19），基础解系就是的一个基，通解就是空间的生成形式，于是解空间也可以写作基础解系的生成空间的形式： ， 它是的一个维子空间。特别地，若，则只有唯一零解，，故没有基