第八章梁的弯曲.ppt

第八章 梁的弯曲 本章小结 6、弯曲应力 梁弯曲时其横截面上一般有两种应力：正应力和剪应力 正应力往往是引起梁破坏的主要因素，而剪应力则为次要因素。 正应力: 剪应力: 弯曲强度条件： 7、提高梁强度的措施 1）选择合理的截面形状 2）采用变截面梁或等强度梁 3）改善梁的受力状况 第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力 4．静力学关系 如图8—18所示，横截面上各处的法向微内力бdA组成一空间平行力系，而且，由于横截面上没有轴力，只有位于梁对成面内的弯矩M，因此： x z y y бdA c 图8—18 M 得： 即 由静力学知道，截面形心C的y坐标为 （8—3） （8—5） （8—4） 将式（8—5）代入得 由此可见，中性轴过截面形心。 第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力 再将式（8—2）代入式（8—4） ，并令 得 （8—6） 由此可知，中性层的曲率为： （8—7） 式中，Iz为截面对Z轴的惯性矩，它是仅与截面形状及尺寸有关的几何量。由（8—2）式可知，中性层的曲率1/ρ与弯矩M成正比，与EIz成反比。可见，EIz的大小直接决定了梁抵抗变形的能力，因此我们称EIz为梁的截面抗弯刚度，简称为抗弯刚度。 第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力 通过以上推导，我们得知了梁弯曲后中性轴的位置及中性层的曲率半径。将（8—7）式代入（8—2）中，即可得横截面上任一点的正应力计算公式： （8—8） 弯矩为正时，中性层以下属拉伸区，产生拉应力；中性层以上部分属压缩区，产生压应力。弯矩为负时，情况则相反。 第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力 二、 常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩 1、常见截面的惯性矩 （1）矩形截面的惯性矩Iz 。图8—19所示矩形截面，其高、宽分别为h、 b，z轴通过截面形心C并平行于矩形底边。为求该截面对z轴的惯性矩，在截面上距z轴为y处取一微元面积（图中阴影部分），其面积dA=bdy，根据惯性矩定义有： b/2 b/2 C y dy z y h/2 h/2 图8—19 同理可得截面对y轴的惯性矩： （8—9） 第八章 梁的弯曲 8.5梁对称弯曲时的正应力 图8—20 d z y ρ y z c （2）圆形截面的惯性矩Iz 图8—20所示直径为d的圆形截面，Z、y轴均过形心C。因为圆形对任意直径都是对称的。因此有Iz = Iy。在圆截面上取微面积dA，因为 ，于是，圆截面对中心的极惯性矩IP与其对中性轴的惯性矩Iz有如下关系： （8—10） 同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为 （8—11） 故有： 式中D为空心圆截面的外径，α为内、外径的比值。 第八章 梁的弯曲 式中，Iz / ymax是只与截面的形状及尺寸相关的几何量，称其为抗弯截面模量，用Wz表示，即 （8—12） 因此，最大弯曲正应力即为 （8—13） （1）矩形截面抗弯截面系数 （8—14） （2）圆形截面抗弯截面系数 （8—15） 同理，空心圆截面的抗弯截面系数 （8—16） 2、抗弯截面系数 由公式8—8可知，当y=ymax时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为： 第八章 梁的弯曲 3、组合截面的惯性矩 在工程实际中，许多构件的横截面是由简单图形组合而成的，对这种组合截面，我们用组合法计算其惯性矩。即将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1，A2、……An。根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即： （8—17） 式8—17即为惯性矩的组合公式。 第八章 梁的弯曲 如图8—21，z轴过组合截面的形心，欲求组合截面对z轴的惯性矩Iz，则可将组合截面划分为三个矩形（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），每个矩形对z轴的惯性矩之和，即为Iz。以矩形Ⅰ为例，z0轴过其形心，欲求其对z轴的惯性矩，则需知道矩形Ⅰ对z0、z这两个平行轴的两个惯性矩之间的关系。下面我们将推导这种关系： z z0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 图8—21 第八章 梁的弯曲 图8—22中，C为截面形心，z轴与z0轴平行且相距为d，微面积dA在y-z、y0- z0坐标系中的纵坐标分别y、y0，根据惯性矩定义有： z