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第八章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体( 它的底是xOy面上的闭区域D( 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面( 它的顶是曲面z(f(x( y)( 这里f(x( y)(0且在D上连续( 这种立体叫做曲顶柱体( 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积( 首先( 用一组曲线网把D分成n个小区域： (( 1( (( 2( ( ( ( ( (( n ( 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线( 作母线平行于z轴的柱面( 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体( 在每个(( i中任取一点(( i ( ( i)( 以f (( i ( ( i)为 高而底为(( i的平顶柱体的体积为 ： f (( i ( ( i) ((i (i(1( 2( ( ( ( ( n )( 这个平顶柱体体积之和：( 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值( 为求得曲顶柱体体积的精确值( 将分割加密( ( 即 ( 其中(是个小区域的直径中的最大值( 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D( 它在点(x( y)处的面密度为((x( y)( 这里((x( y)(0且在D上连续( 现在要计算该薄片的质量M( 用一组曲线网把D分成n个小区域 (( 1( (( 2( ( ( ( ( (( n ( 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量( ((( i ( ( i)(( i ( 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值( ( 将分割加细( ( 得到( 其中(是个小区域的直径中的最大值( 定义 设f(x( y)是有界闭区域D上的有界函数( 将闭区域D任意分成n个小闭区域 (( 1( (( 2( ( ( ( ( (( n ( 其中(( i表示第i个小区域( 也表示它的面积( 在每个(( i上任取一点(( i( (i)( 作和 ( 如果当各小闭区域的直径中的最大值(趋于零时( 这和的极限总存在( 则称此极限为函数f(x( y)在闭区域D上的二重积分( 记作( 即 ( f(x( y)被积函数( f(x( y)d(被积表达式( d(面积元素( x( y积分变量( D积分区域( 积分和( 直角坐标系中的面积元素( 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D( 那么除了包含边界点的一些小闭区域外( 其余的小闭区域都是矩形闭区域( 设矩形闭区域((i的边长为(xi和(yi( 则((i((xi(yi( 因此在直角坐标系中( 有时也把面积元素d( 记作dxdy( 而把二重积分记作 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素( 二重积分的存在性( 当f(x( y)在闭区域D上连续时( 积分和的极限是存在的( 也就是说函数f(x( y)在D上的二重积分必定存在( 我们总假定函数f(x( y)在闭区域D上连续( 所以f(x( y)在D上的二重积分都是存在的( 二重积分的几何意义( 如果f(x( y)(0( 被积函数f(x( y)可解释为曲顶柱体的在点(x( y)处的竖坐标( 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积( 如果f(x( y)是负的( 柱体就在xOy 面的下方( 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积( 但二重积分的值是负的( 二、二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数( 则 ( 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域( 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和( 例如D分为两个闭区域D1与D2( 则 ( 性质3 ((为D的面积)( 性质4 如果在D上( f(x( y)(g(x( y)( 则有不等式 ( 特殊地 ( 性质5 设M、m分别是f(x( y)在闭区域D上的最大值和最小值( (为D的面积( 则有 ( 性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x( y)在闭区域D上连续( ( 为D的面积( 则在D上至少存在一点((( ()使得 ( 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( a(x(b ( Y ((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( c(y(d ( 混合型区域( 设f(x( y)(0( D({(x( y)| (1(x)(y((2(x)( a(x(b}( 此时二重积分在几何上表示以曲面z(f(x( y)为顶( 以区域D为底的曲顶柱体的体积( 对于x0([a( b]( 曲顶柱体在x(x0的截面