普通数学课堂作业数列.docVIP

普通數學課堂作業:數列 第一組組員： 競技三 494170576 簡坊庭 競技三 494170590 王詠怡 Fibonacci數列 蔡聰明蜜蜂採花釀蜜，生產花粉、蜂蠟、蜂王乳，並且幫忙植物散播花粉，傳宗接代。因此，蜜蜂跟人類的生活，關係密切。特別地，蜜蜂又跟數學結下不解之緣，很少有其他的昆蟲像蜜蜂這麼奇妙。 事實上，蜜蜂所牽涉到的數學，相當深刻而有意思，例如：蜂舞與極坐標、雄蜂譜系與 Fibonacci 數列、蜂巢的極值原理。在大自然的巧妙安排下，蜜蜂「不知亦能行」地遵循這些數學法則，實在令人驚奇。 自然充滿著神奇奧秘，等待著我們去發掘！ 一個印度數學問題 在西元1000至1500年之間，印度最著名的數學家婆什迦拉（Bhaskara, 1114～約1185年）寫了一本數學書，叫做《麗羅娃蒂》(Lilavati)，其中有一題以蜜蜂為主角。 帶著美麗眼睛的少女── 麗羅娃蒂，請你告訴我： 茉莉花開香撲鼻， 誘得蜜蜂忙採蜜， 熙熙攘攘不知數。 全體之半平方根， 飛入茉莉花園裡。 總數的九分之八， 徘徊園外做遊戲。 另外有一隻雄蜂， 循著蓮花的香味， 進入花朵中被困。 一隻雌蜂來救援， 環繞於蓮花周圍， 悲傷地飛舞低泣。 問蜂群共有幾隻？ 利用代數方法，這題很容易求解。設蜜蜂共有 x 隻，根據題意列得方程式 化簡得 (1)  本質上這是個一元二次方程式。 令 ，則 x=2y2。從而(1)式變成 2y2-9y-18=0，解得 y=6 或 ，但 不合，故 x=2 x 62=72  因此，蜜蜂總共有72隻。 當我們學過一元二次方程式後，都知道像下列方程式 等等，只需經過「變數代換」都可以化成一元二次方程式。事實上，變數代換的技巧非常重要，透過它使我們能夠「以簡馭繁」或穿越「表象」抓住「本質」。值得注意的是，Cardano（1545年）求解三次方程式的成功，基本上就是利用變數代換的技巧，化約成求解「二次方程式」： x6-ax3-b=0  古印度盛行運動競賽，其中有一關是解數學難題（頭腦體操）。於是有一本數學參考書開頭就說：能夠解出本書題目的人，將使太陽暗淡，星星失去光彩。上述蜜蜂問題就是書中的一個題目，可見在當時這是一道難題。不過，這一題趣味盎然，光讀題目就讓人眼睛發亮。 根據數學史，《麗羅娃蒂》是 Bhaskara 最出名的一本數學著作，Lilavati 是他女兒的名字。有一個故事這樣流傳著:占星家預測 Lilavati 的婚姻永遠無成，但是 Bhaskara 找到了一個解運的辦法。他做了一個可漂浮在水面上的杯子，底部開一個很小的洞，水可慢慢流進，一小時後若杯子沈沒就可擺脫厄運。在一個吉日良辰施行解運時，由於好奇心，Lilavati 觀看杯中水逐漸上昇，突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡，恰好堵住進水口，一小時後杯子並沒有沈沒，因此 Lilavati 還是要面對永遠結不了婚的命運。為了安慰女兒，Bhaskara 說：「我要寫一本書，以妳的名字為書名，讓妳流芳萬世；因為好名聲是一個人的第二生命，也是不朽的基礎。」Bhaskara 辦到了，並且心願也達成了。 蜂舞與極坐標 蜜蜂是群居性的昆蟲，嚴格施行分工合作的社會（經濟學家 Adam Smith 在1776年才開始提倡人類社會也應該分工合作）。一個蜂巢通常是由一隻后蜂（又叫蜂王，是體型最大的雌蜂）、約五萬隻的工蜂以及數百隻的雄蜂組成的。后蜂專司產卵，是蜂群共同生活中心；工蜂負責築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛、餵食幼蜂等工作；雄蜂是「小白臉」，好吃懶做，只負責跟后蜂交配。受精卵孵化出雌蜂之幼蟲，若持續餵以蜂王乳就長成蜂王；若前三天餵以蜂王乳，以後餵以蜂蜜或花粉，就發育成工蜂，因此工蜂是雌蜂。后蜂所產的未受精卵就孵化為雄蜂，故雄蜂有母無父，這是奇特之處。參見圖一。 圖一 採蜜是工蜂最繁重的工作。首先是派出一些工蜂做偵察蜂 (explorer)，到處去找尋蜜源。當偵察蜂發現採蜜的地點時，回巢要如何告知同伴呢？這就是描述地點的問題。蜜蜂不會說話，如何解決這個難題呢？ 我們人類描述地點的方式有很多種，例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風所在的經緯度，到數學上更有效的直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標、廣義坐標等等。 然而蜜蜂沒有「語言」，怎麼辦呢？牠們有「跳舞語言」(the dance language)，以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點，基本上就是極坐標！（我們不要受人類自己習以為常的「語言」框框所限制！） 奧地利動物學家 Karl von Frisch（1886～1982）就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向 (orientation) 而有成的人，他懂得「蜂語」，故被