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第六章 数学解题理论概述 数学解题方法论主要是研究和讨论数学解题的一般性规律、法则和方法的科学，是关于解题和寻找解题方法途径的研究。 解题是数学老师的基本功. 美国数学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏，数学家存在的理由就是解决问题，因此，数学的真正组成部分是问题和解。” 著名美籍匈牙利数学家G·波利亚也曾经说过，“掌握数学就意味着善于解题”，“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练”。 §1 数学问题及其类型 一、数学问题的含义 1.数学问题是一种需要行动的情况. 2.数学问题是一种情境. 3.数学问题是一种系统. 4.数学问题是一种集合. 5.数学问题是以潜问题的形式被主体数学心理场所感知的数学模式序缺. 以上几种定义从不同的角度对数学问题进行了描述，可以发现，所有的问题都会有三个基本成分： ①给定（Givens）,即一组给予的信息； ②目标（Goals）,问题要求的或结尾的状态，即关于问题构成的结论描述； ③障碍（Obstacles）,思维者无法立即找到正确答案，必须通过一定的方式来改变给定状态，逐步达到目标状态。 二、数学问题的特征 数学问题具有以下特征： （1）客观性：数学问题对于主体来说就是一种客观存在，所以主体在接受问题时，必须对问题产生认知和理解。 （2）障碍性：数学问题对于主体来说具有一定的困难，用习惯的反应或模式会失败，于是可能出现多次失败的尝试。 （3）挑战性：数学问题一旦为人所感知，就对人的智能构成一种挑战，迫使他去探究新的处理方法。 三、数学问题的类型 数学解题方法论中讨论的数学问题主要是指数学习题，所以数学问题的类型主要是数学习题的类型，采用不同的分类标准可以给出各种不同的分法。 1.弗里得曼的三分法 前苏联数学家弗里得曼等人按数学问题的外在特征，提出了三分法，即按数学问题的外在形式可以分成： （1）求解题，是指要求出、寻找、识别，这类问题包括求值、计算、解方程、解不等式、几何计算，求函数关系式及相关问题。 （2）证明或说明题，是要求证实某一个论断的正确性，或检验它的真假性，或说明某一种现象、事实为什么成立或不成立。 （3）变换题或求作题，是要求变换某种表达式，要求作出某一几何图形或者表达式满足给定的条件等。 例1 已知m,n为正整数，且 （1）求证： 是一个正整数的平方； （2）已知 ∣A，求当m+n最小时的m、n的值。 例2 设a,b为一河流的的两平行岸，c,d为另一河的平行两岸，A，B为两河流外侧之两地，问两河上垂直于河岸的桥架在何处，A到B的路程最短？ 2.系统要素分析法 按照奥加涅相等人的观点，数学问题是一个系统，其构成要素主要有四个：问题的条件、问题的结论、解题的方法、解题的依据。根据题目系统中要素的已知情况，可以将数学问题分为： （1）四个要素都已知称标准性题 （2）三个要素已知的称训练性题 （3）两个要素已知的称探索性题 （4）仅有一个要素已知的称问题性题 3、成分分析分类法 分为三类：标准题、封闭性变式题、开放性变式题 4、按开放性分类 分为两类：封闭题、开放题 5、按问题层次分类 分为五类：识别练习题、算法练习题、应用问题、开拓----探究问题、情景问题 §2 问题解决的要素和一般模式 一、问题解决的要素 从认知心理学的角度分析，一般认为问题解决的要素主要有：问题表征、问题解决的程序、模式再认. 1.问题表征 表征是影响问题解决的一个重要因素，是问题解决的中心环节 2.问题解决的程序 通常使用“手段----目的分析法” 例3 设有甲乙丙三根木柱，在甲柱上套有从小到大的三个圆盘，最大的在下面，呈塔状，现在欲将这三个圆盘全部移到乙柱上，而每次只能移动最上面的一个圆盘，且每次移动中不能将大圆盘置于小圆盘之上，丙柱可以做辅助用，问最少移动几次完成？ 3.模式再认 长期积累的知识基础是问题解决的有效操作依据 二、问题解决的一般模式 1.杜威的五个步骤 经验到的困难→困难的界定→可能解决方法的产生→通过推断检验解决方法→解决方法的检查阶段 2.产生式模式 产生式是一种“条件（condition）→动作(action)”的规则,简记为C→A 3.波利亚的“怎样解题表” 弄清题意→拟定计划→实施计划→回顾解题 4.RMI原则 我国数学家徐利治教授给出的RMI原则，既是数学方法论原则，也是一个问题解决的一般模式. §3.数学解题观 数学解题观即是一个人对数学解题所持的看法，以回答“解题的实质是什么？”数