第四讲定积分.doc

第四讲 定积分与广义积分 考试要求 1． 理解定积分的概念2． 掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法定积分中值定理。3． 会求有理函数、三角函数有理式及简单理函数的积分。4． 理解积分上限的函数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。5． 了解广义积分的概念会计算广义积分。 1 定义 2 若f(x)在[a,b]上连续，则存在，特别 3 4 性质： (1) (2) (3) (4) 不等式性质 (5) 估值定理 ， 则 (6) 积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则 ， 注：可在开区间（a,b）内取到. 一般地，f(x)在[a,b]上连续, g(x)在[a,b]上可积且不变号，则 5 定积分的计算 (1) 牛顿—莱布尼兹公式 (2) 换元积分法 (3) 分部积分法 6 广义积分 （1）无界区域上的广义积分：设是在 上的一个原函数，且均存在，则称收敛，且定义=；如果 中有一个不存在，则称发散。 同样可定义 的收敛，发散，及其值。 如果存在使得和都收敛，则称收敛，且定义 =+。 （2）无界函数的广义积分：设在 上连续但无界，而是在 上的一个原函数，且存在，则称收敛，且定义 =；如果 不存在，则称发散。 如果在 上连续但无界，同样可定义 的收敛，发散，及其值。 设存在使得在 和上均连续但无界，如果和都收敛，则称收敛，且定义 =+。 （3）几个重要的广义积分 （i）若则 （ii）若则 （iii）若则 , 0k1时收敛；当k(1发散。 （iv）； 三 、重要公式与结论 1、 若在上可积（特别它在其上只有有限个第一类间断点），则在上连续；若在上连续，则在可微，它是在上的一个原函数。 （变限积分求导）若连续，而可微，则可微，且 2、 = 3、 设f(x+T)=f(x),则 特别，， 四、 典型题型与例题 题型一、定积分的概念及性质 例1、设 ，则 （A） MNP （B） NMP （C） PMN （D） PNM 例2、 设求 例3、 设 , 则 f(x)= 例4、 设 , 则 f(x)dx= [令 ,再积分] 例5、设 , 则 f(x)= [等式两边分别从0到1,从0到2积分] 例6、设f(x)在x=0处连续，, 且 则a= ,f(x)=________. 例7、(022) = 例8、 证明下列不等式 题型二、涉及变限积分的问题 例9、 例10、 (993) 已知f(x)连续， 且f(1)=1, 的值. 例11、 设f(x)在x0时连续，f(1)=3且，，试求f(x). 题型三、定积分的计算 方法： 利用常用的方法计算定积分 例12、求 例13、求[ ， 或 ，] 例14、求 例15、求 2、利用被积函数的奇偶性及积分区间的对称性 例16、求 3、利用被积函数的周期性 例17、求 例18、设n为自然数，求I= 4、利用定积分的几何意义计算积分 例19、求 5、 循环计算法 例20、求 例21、 求 6、作变换 例22、求 例23、求 例24、求 7、利用分部积分法 例25、设，求 8、 化为二重积分计算: 例26、求 解 9、 几类特殊问题 1) 分段函数求积分 例27、求 例28、(043,4分) 设,则 2) 含有绝对值的积分 例29、求 3) 含有抽象函数的积分 例30、已知f(()=2, 4) 广义积分的计算 例31、（002） 例32、（011） 例33、求 (混合型广义积分) 例34、利用幂级数计算积分 解 于是 题型四、 定积分有关命题的证明 (1) 定积分等式的证明 方法： 例35．证明 例36、设在有二阶连续导数，又， 求证： (2) 定积分不等式的证明 基本方法： 例37、设f(x)在[0,1]上连续，且对 有 证明： 证 例38、设f(x)在[0，上连续且单调增加，试证对，恒有