粘性流体力学第一章.ppt

即过N点任何平面上的应力等于此平面外法线的单位矢量与此点应力张量的点积。 同样也可以得出一个张量与矢量的点积，例如： （1-30） （1-31） （1-32） 当张量为对称二阶张量时，上述两种点积的结果相同。非对称二阶张量则不然。根据上述点积概念同样可以定义张量的散度 。其中汉密尔顿符号▽可以表示为： （1-33） （1-34） 流体微元中单位质量的流体所受的表面力 图1－10 微元体上的应力张量 图1－10所示为流体微元在x1方向上所受的表面应力，那么此微元在x1方向所受全部表面力之和为dF1： ? 由此可见流体微元中单位质量流体所受的表面力的合力为 即为二阶张量的散度。 （1-35） 第五节 广义牛顿定律 广义牛顿定律（广义牛顿粘性公式）表示的是粘性流体应力张量和应变率张量之间的关系。此定律是牛顿内摩擦定律的推广。 牛顿提出了关于粘性流体做直流层状运动时，两流体层间的切应力与层间速度梯度成正比，即： （1-36a） （1-36b） 图1－11 流体的直流层状运动 斯托克斯(Stokes)把牛顿内摩擦定律推广到粘性流体的流动中，他根据虎克(Hooke)定律，提出了以下三条假设： （a）流体是连续的，应力与应变率之间成线性关系。 （b）流体是各向同性的，也就是它们的性质与方向无关。 因此无论选取什么样的坐标系，它们的应力与应变率之 间的关系是相同的。 （c）所建立的关系不仅适应于运动状况，也适应于静止状 况，静止只是运动的一个特例。 当流体静止时，应变率为零，流体中的应力只有正应力——静压，切应力为零。即： （1-37a） （1-37b） 式中p0为静压，I为单位二阶张量： 式中a，b是标量。 由于上述关系是线性的，系数a不可能与 和 的各分量有关，并与流体的运动形态无关，只取决于流体的物理属性，参考式（1－36）令：? 根据假设(a)，可令： （1-38） （1-39） 式（1－38）右边第二项是b和I的乘积，保证此式的线性关系，可令b是 的线性不变量和 的线性不变量的组合： 那么b的一般表达式： （1-40） 代入（1－38）式中 （1-41） 取（1－41）式两边的对角线元素之和： 合并同类项后： （1-42） 在静止状态: 则： 由于b1和b3是常数，要求p0为任何数时均成立。 只有： ? b3＝0， b1＝1/3 ? 代回到（1－42）式： ? （1－43）? ? 这样三个系数确定后，就可以得出应力张量和应变率张量之间的一般线性关系式： （1-44） 对于粘性流体，只有在特殊的情况下，p 在各个 方向相等，因此使用上式带有平均值的概念，那么 （1－44）式改写成： 对于非粘性流体，一点的压力在各个方向是相等的，即： （1-45） （1-46） 通常 称为膨胀粘性系数，而（1－45）和（1－46）式称为广义牛顿定律。在直角坐标系中，应力张量各分量的表达式为： 对于不可压缩流体 （1-47） （1-48） 当流体作平面直线运动时，就退回到牛顿内摩擦定律。 对于叶轮机械等常用圆柱坐标系（r，，z），应力分量为： （1-49） ? ? 广义牛顿定律建立了一般情况下应力张量和应变率张量之间的关系，它是粘性流体力学的一个理论基础。Stokes的假设是无法用实验验证的假设，但是根据此关系所得出的很多粘性流体力学问题的解，均被实验所证实，因此就间接地证明了这些假设和广义牛顿粘性定律的正确性。 凡是满足上述Stokes假设，从而满足（1－47）式的流体称为牛顿流体，如水和空气等。反之称为非牛顿流体。 为了简单，用 表示除压力以外的表面应力，则 ? 第三节 流体的传输性质 动量传递现象 粘性流体在流动过程中会产生动量传递，这是粘性的本质。流体的分子运动可以解释流体的粘性。流体的分子除了有与流动方向一致的平均前进速度，还伴随着微观不规律的热运动。 在相邻流体层之间会发生某些物理量的传输（或称输运）：动量输运、热量输运、质量输运。 流体与壁面之间的动量传输。在固体壁面附近，流体分子一撞到固体壁面就失去了动量的平均前进分量，它在固壁处的平均速度为零，这就是