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数学物理方法 柱函数 柱函数 柱函数的基本性质 贝塞尔方程本征值问题 转动对称柱面问题 一般柱面问题 本章小结 柱函数的基本性质 m 阶柱函数 定义： 柱函数的基本性质 柱函数的图象 贝塞尔函数 诺伊曼函数 柱函数的性质 对称性 对整数阶柱函数有 Zm(-x) =(-1)m Zm(x) 渐近性质 零点分布 递推公式 贝塞尔函数的图象 诺伊曼函数的图象 柱函数的渐近性质 柱函数的零点分布 由渐近公式，在 x 较大时 柱函数的递推公式 递推公式的证明 递推公式的应用 递推公式的应用 贝塞尔方程的本征值问题 转动对称柱面问题的分解 一般本征值问题 本征值问题 本征值和本征函数 正交性和完备性 典型本征值问题 有界和第一类边界条件 有界和第二类边界条件 两边第一类边界条件 转动对称柱面问题的分解 一般本征值问题 本征值问题： 本征值和本征函数 泛定方程的通解为： 正交性和完备性 有界和第一类边界条件 本征值问题为： 有界和第一类边界条件 有界和第一类边界条件 有界和第一类边界条件 有界和第一类边界条件 有界和第二类边界条件 本征值问题为： 有界和第二类边界条件 有界和第二类边界条件 两边第一类边界条件 本征值问题为： 转动对称柱面问题 轴对称柱面问题 ( m = 0 时的特例 ) 热传导问题 波动问题 稳定问题 转动对称柱面问题 热传导问题 波动问题 稳定问题 轴对称热传导问题 轴对称热传导问题 轴对称波动问题 轴对称波动问题 轴对称稳定问题 轴对称稳定问题 转动对称热传导问题 转动对称波动问题 转动对称稳定问题 一般柱面问题 思路 先把非对称的条件分解为三角函数; 含三角函数的条件求出对称柱面解; 再对所得对称柱面解进行叠加。 一般热传导问题 一般波动问题 一般稳定问题 一般热传导问题 一般波动问题 一般稳定问题 本章小结 一般柱面问题可以分解为对称柱面问题的叠加； 对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题; 贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定; 典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题的求解有重要作用。 例题 4 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始位移为零，初始速度为 f = δ(ρ - c)，求膜的振动情况。 解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。 例题 5 半径为b，高为L的圆柱体，下底和侧面都保持零度，上底的温度分布为ρ2，求柱内的稳恒温度分布。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 例题 6 半径为b，高为L的圆柱体，侧面电势保持为零，上底的电势为A，下底的电势分布为Bρ2，求柱内的电势分布。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 例题 7 半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f = Aρ cosφ，确定柱内温度 u 的变化。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。 例题 8 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 ρ2sin2φ，初始速度为零，求膜的振动情况。 解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。 例题 9 半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为Aρsinφ，求柱内的稳恒温度分布。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f (ρ, φ)，确定柱内温度 u 的变化。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 f (ρ, φ)，初始速度为零，求膜的振动情况。 解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。 解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为 f ( ρ, φ)，求柱内的稳恒温度分布。 * * 分类： m 阶贝塞尔函数 m 阶诺伊曼函数 m 阶汉克尔函数 x → 0 时的行为： x → ∞ 时的行为： 由图象： m 阶贝塞尔函数有无限多个正零点 相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现 第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加 基本递推公式 推论二 推论一 例题 1 例题 2 例题 4 例题 3 例题 5 令 x = k ρ, y(x) = R(ρ), 问题化为： 根据边界条件可以得出本征值： 本征函数为： 模 正交性 完备性 广义傅立叶系数为 本征值和本征函数为： 正交性和模： 完备性： 广义傅立叶系数： 例1：把函数 f = δ(ρ-c)在[0,b] 区间用m阶贝塞尔函数展开。 例2：把函数 f = ρm 在[0,b] 区间用m阶贝塞尔函数展开。 例3：把函数 f = ρ2 在[0,b] 区间用0阶贝塞尔函数展开。 本征值和本征函数为： 正交