《数学物理方法》单锥天线-补充教材2.docVIP

利用静态场方程、直接积分法和静电比拟原理求解无限长单锥天线的输入阻抗（补充例题一） 如图所示，真空中有一个无限长单锥（mono-conical）天线，它是由无限长的金属板（xoy平面）和顶角为的无限长锥体单元构成的（这里画成有限大），两者之间绝缘。假定锥体的电位为，金属板接地（电位为0），试求解：（1）空间中的电位分布；（2）电场分布和单位长度的分布电容C；（3）假定边界条件不变、锥体上通有直流电流，根据静电比拟原理，该系统还具有分布电感。假定分布电容仍然跟静态的情况一样，锥体和接地板就构成一个单锥天线，交流电流同样会产生分布电感L，且满足，其中为真空中的电容率，为真空中的导磁率。试求出分布电感L，以及单锥天线的特性阻抗。 解： （1）依题意可知，电位分布满足Laplace方程，也就是：。根据系统的旋转对称性且锥体无限长，故电位函数u与坐标、r均无关而只与有关。又根据球坐标下的Laplace算符展开式，可知偏微分方程退化成简单的常微分方程[1]： （1） 因此，这个方程可以通过“直接积分”的办法来求解： （2） 其中A、B为待定的常数。根据示意图可以写出边界条件：（3） 根据边界条件可以待定出系数A、B，不难求得： ， 故此可得电位分布函数u为： （4） （2）根据电场和电位的关系，不难知道电场等于电位函数的负梯度，即： （5） 根据球坐标下的梯度算符，可知电场只有分量，即： （6） 为了求出单位长度的电容C，必须先求出单位长度（r=1）的电荷Q，为此可以利用本构关系，首先求解电荷面密度： （7） 于是根据球面坐标的面积微元关系[2]，可以求得单位长度的总电荷量为： （8） 因此，单位长度的电容C为： （F/m）（9） （3）假定边界条件不变，如果系统支持的是直流或交流电场，都会产生电感（储存磁场能量）。由于所有边界条件不变，故可以利用静电比拟方法、推知直流和低频情况下的场分布。易知磁场分量与电场分量正交（垂直）且沿着方向分布（右手定则）。根据已知条件，可知单位长度的分布电感： （H/m）（10） 特性阻抗为： （Ohm）（11） 其中欧姆称为“自由空间中的波阻抗”。由于天线是无限长的，可以认为输入阻抗等于特性阻抗[3]。 根据镜像原理，对称的双锥天线（无限大接地板被另一半的对称锥体取代）的输入阻抗为： （12） 式子（12）就是著名的“谢昆诺夫（Schelkunoff）公式”。 利用波动方程也能推导出完全一致的结果，详细过程可参见文献[3]。 从谢昆诺夫（Schelkunoff）公式出发，可以说明两个结论： 如果一个天线的几何参数只是角度的函数，则它的输入阻抗特性与工作频率f无关，这就是天线工程中非常著名的“拉姆塞原则”（Rumsey’s Principle）。 对于无限长双（单）锥天线，其输入阻抗为纯电阻；如果将无限长双（单）锥天线截断为有限长天线，则输入阻抗为复数且与工作频率f有关。 参考文献 张文灿，邓亲俊，电磁场的难题与例题分析，pp.122-123，北京：高等教育出版社，1987. 徐立勤，曹伟，电磁场与电磁波理论，pp.25-26，北京：科学出版社，2006. J. D. Kraus, Antennas (2nd Edition), pp. 340-347, New York: McGraw-Hill Book, 1988.