《数学物理方法》第二章-定解问题.pptVIP

(2) 抛物型方程 那么特征线是： 抛物型方程的标准形式 若取 作为与 无关的另一新自变量，那么， 由特征方程的解可以得到特征线为: (3) 椭圆型方程 作代换： * 电磁场数学方法 南京邮电大学电子科学与工程学院 第二章、数学建模——数学物理定解问题 2.1、概述 2.2、数学物理方程的导出 2.3、定解条件 2.4、数学物理方程的分类 2.5、达朗贝尔公式 数学物理方程 数学角度 微分积分方程 偏微分方程 积分方程 波动方程 (双曲型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程) 输运方程 (抛物型偏微分方程) 第二章、数学建模——数学物理定解问题 2.1、概述 2.2、数学物理方程的导出 2.3、定解条件 2.4、数学物理方程的分类 2.5、达朗贝尔公式 共性：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说，就是用数学物理方程表达物理规律。这种物理规律反映的是同一类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。 个性：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就是所谓的个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一种是“恒定表面浓度扩散”；另一种是 “限定源扩散” 边界条件：为了求解具体的物理问题，还要研究物理量受周围环境的影响，而周围环境影响总是通过边界才传给研究对象的，因此周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，这就是边界条件。 泛定方程：在数学上同一类物理现象的共性称为泛定方程。 初始条件：为了求解物理量随时间的变化问题，还要考虑研究对象的特定历史，也就是早先某个所谓的初始状态，也即初始条件。 定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题。 第二章、数学建模——数学物理定解问题 2.1、概述 2.2、数学物理方程的导出 2.3、定解条件 2.4、数学物理方程的分类 2.5、达朗贝尔公式 数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来(物理问题的数学建模) (2) 根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要影响，忽略 次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量 (3) 用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数学物理方程。 数学物理方程的导出步骤为： (1) 首先确定所研究的物理量 问题1：均匀弦的微小横振动 受迫振动方程，与外界激励有关 自由振动方程，齐次 ，与外界激励无关 1、波动方程 说明：“横向”是指弦上的点沿垂直于x轴的方向运动；“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致其高阶项可以忽略不计。弦的重力与张力相比，可以忽然不计。 利用牛顿定律，推导某段微元（弦）的受力情况 问题2：均匀杆的纵向振动 利用胡克定律 问题3：传输线方程 传输线方程 电报方程 基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电压定律 问题4：电磁波波动方程 Maxwell Equations 结构方程 二、输运方程 问题1：扩散方程 扩散：就是由于浓度的不均匀使得物质从浓度高的地方流入浓度低的地方。 输运方程 利用扩散定律和粒子数(或质量)守恒定律 扩散梯度：在扩散问题中研究的是浓度 在空间中分布和在时间中的变化 ，那么浓度的不均匀程度可以用浓度梯度 表示； 扩散强度：单位时间内通过单位横截面积的原子或分子或质量。 问题2：热传导方程 类似于扩散，温度不均匀时，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这就是 热传导问题。此时要研究的是温度在空间的分布和随时间的变化 热传导定律 : 物体内存在热源时得非齐次偏微分方程 3、恒定场方程 所谓的恒定场就是场量不随时间变化，而只与空间有关。 问题1：静电场 静电场表明电场强度 与时间无关，那么麦克斯韦方程组 泊松方程 拉普拉斯方程 泊松方程 拉普拉斯方程 第二章、数学建模——数学物理定解问题 2.1、概述 2.2、数学物理方程的导出 2.3、定解条件 2.4、数学物理方程的分类 2.5、达朗贝尔公式 定解条件 初始条件 边界条件 衔接条件 1、初始条件 对输运方程(扩散、热传导)，初始状态是指所研究的物理量 的初始分布(比如初 始浓度分布、初始温度分布)，因此初始条件为： 对波动方程(弦、杆、传输线和电磁波)，不仅需要给出初始“位移”，还要给出初始“速度” 思考：对稳定场方程是否也有初始条件吗？ 例：一根长为 ，两端固定的弦，用手把中点拉开，然后任其振动，如图 所示。此时初始条件就是放手的那个瞬间弦的位移和速度。 初始速度和初始位移分别为: 0 = x