概率论与数理统计（柴中林）第3讲.pptVIP

为介绍全概率公式，引入样本空间的完备事件组（划分）的概念 定义：设Ω为实验E的样本空间， A1,A2,…,An为一组事件，若A1,A2,…,An两两互斥，且A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An= Ω ，则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个完备事件组（划分）。 易见，若A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分，则每次实验时，事件A1,A2,…,An中必有，且仅有一个发生. 由贝叶斯公式，得 P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。 小结 本节首先介绍条件概率的定义与计算；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式的理论意义、实际意义及应用范围。 概率论与数理统计 第三讲 主讲教师：柴中林副教授 中国计量学院理学院 有时, 除了要考虑事件A发生的概率外，还要考虑“事件B已发生”的条件下A发生的概率。 1.4.1 条件概率 通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概率为 P(A|B)。 一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。 §1.4 条件概率 例如：有一凶杀案，甲乙丙丁4人是嫌犯，其中1人是凶手，则甲是凶手的机会是1/4.若有新证据显示丙不是凶手，此时甲是凶手的机会就不是1/4而是1/3了。 例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求 (1).抽到的产品是次品的概率； (2).在抽到的产品是不合格品条件下, 产品是 次品的概率。 解： 设 A={抽到的产品是次品}， B={抽到的产品是不合格品}。 (1). 按古典概型计算公式，有 可见，P(A) ≠P(A|B)。 (2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得 虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存在什么关系呢? 先来计算P(B)和P(AB)。 因为100件产品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。 P(AB)=3/100。 而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件即是不合格品又是次品，得 通过简单运算，得 有 P(A)=1/6， 又如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， 求P(A|B)。 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B。 于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。 可以得到： 受此启发，对条件概率进行 如下定义。 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。 由于我们已经知道B已发生, 故B就变成了新的样本空间 , 于是 就有(1)。 II. 条件概率定义 为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。 定义1: 设A、B是两个事件，且P(B)0，称 III. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω|B)=1； 而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。 3. 设A1, A2,…互斥，则 例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类,4只属甲类, 两只属乙类。不放回地抽取三极管两次, 每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下, 第二次又抽到甲类三极管的概率。 解:记Ai= {第 i 次抽到的是甲类三极管}, i=1,2, A1A2={两次抽到的都是甲类三极管}, 由第2讲中的例1.3.3，可知 再由P(A1)=4/6=2/3，得 由条件概率的定义： 即 若P(B)0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2) 而 P(AB) = P(BA)， 1.4.2 乘法公式 在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。 将 A、B的位置对调，有 故 P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3) 若 P(A)0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ， (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率。 当 P(A1A2…An-1) 0 时，有 P (A1A2…An） = P(A1) P(A2