人教版数学必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一).doc

§2.1数列的概念与简单表示法() 【对点讲练】一根据数列的前几项写出数列的一个通项公式1】根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)－1,7,－13,19,… (2)0.8,0.88,0.888,… (3), ,－, ,－, ,… (4), 1, , ,… (5)0,1,0,1,… 分析先观察各项的特点,然后归纳出通项公式.【解答】(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6, 故通项公式为an＝(－1)n(6n－5) (n∈N*). (2)数列变形为(1－0.1), (1－0.01), (1－0.001),…, ∴an＝ (n∈N*). (3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－,因此原数列可化为－, ,－, ,…, ∴an＝(－1)n· (n∈N*). (4)将数列统一为, , , ,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn＝2n＋1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2},可得分母的通项公式为cn＝n2＋1, ∴可得它的一个通项公式为an＝ (n∈N*). (5)an＝或an＝ (n∈N*)或an＝ (n∈N*). 【总结】解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系.同时,要善于利用我们熟知的一些基本数列,通过合理的联想、转化而达到问题的解决. 【变式1】写出下面数列的一个通项公式. (1)2, 4, 6, 8,…; (2)10,11,10,11,10,11,…; (3)－1, ,－, ,….【解答】(1)这是个混合数列, 可看成2＋, 4＋, 6＋, 8＋,…. 故通项公式an＝2n＋ (n∈N*). (2)该数列中各项每两个元素重复一遍,可以利用这个周期性求an.原数列可变形为: 10＋0,10＋1,10＋0,10＋1,…. 故其一个通项为:an＝10＋, 或an＝. (3)通项符号为(－1)n,如果把第一项－1看作－,则分母为3,5,7,9,…,分母通项为2n＋1;分子为3,8,15,24,…,分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2), 原数列通项为:an＝(－1)n (n∈N*). 二.根据递推公式写出数列的前几项 【例2】设数列{an}满足写出这个数列的前5项. 【总结】由递推公式可以确定数列,它也是给出数列的一种常用方法. 【变式2】在数列{an}中,已知a1＝2,a2＝3,an＋2＝3an＋1－2an(n≥1),写出此数列的前6项. 【解答】a1＝2,a2＝3, a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5, a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9, a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17, a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33. 三.数列通项公式的应用 【例3】已知数列; (1)求这个数列的第10项; (2)是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; (4)在区间内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由. 【解答】(1)解设f(n)＝＝＝. 令n＝10,得第10项a10＝f(10)＝. (2)解令＝,得9n＝300. 此方程无自然数解,不是该数列中的项. (3)证明∵an＝＝＝1－, 又n∈N*,∴01,∴0an1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内. (4)解令an＝,则,即.∴n. 又∵n∈N*,∴当且仅当n＝2时,上式成立,故区间上有数列中的项,且只有一项为a2＝. 【总结】判断某数是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求n的值,若存在正整数n,则说明该数是数列中的项,否则就不是该数列的项. 【变式3】已知数列{an}的通项公式an＝. (1)写出它的第10项; (2)判断是不是该数列中的项.【解答】(1)a10＝＝. (2)令＝, 化简得: 8n2－33n－35＝0, 【解答】得n＝5.当n＝5时,a5＝－≠. ∴不是该数列中的项. 【课堂小结】1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: (1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复. (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列－1,1,－1,1,－1,1,…的通项公式可写成an＝(－1)n,也可以写成an＝(－1)n＋2,还可以写成a