二章 离散型随机变量.pptVIP

* 为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果. 例 电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述. 例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散 变量来描述 第二章 离散型随机变量 第一节 随机变量 设 ? 是试验E的样本空间, 若 则称 X ( ?) 为 ? 上的 随机变量 r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , ?或小写希腊字母 ?, ?, ? 表示. 定义 按一定法则 简记 r.v. X . 随机变量 是 上的映射, 此映射具有如下特点 定义域 事件域 ? 随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 概率特性 X 以一定的概率取某个值 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件, 例如 —— 表示 “某天9:00 ~ 10:00 接到电话次数超过100次” 这一事件 为事件A 的示性变量 r.v.的函数一般也是r.v. 可根据随机事件定义 r.v. 设 A 为随机事件，则称 在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v., 例如 ? = {儿童的发育情况 ? } X(?) — 身高, Y(?) — 体重, Z(?) — 头围. 各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系—— 即 相互独立 离散型 非离散型 r.v. 分类 其中一种重要的类型为 连续性 r.v. 引入 r.v. 重要意义 ◇ 任何随机现象可 被 r.v.描述 ◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底 §2.2离散型随机变量及其概率分布 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 X P 或 离散随机变量及分布律 即 分布律的性质 非负性 归一性 X ~ 或 F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk . 离散随机变量及分布函数 其中 . 解 例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 出发地 甲地 首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数. 令 X 表示 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 x x ] ] ] ? ] ? ? k pk 0 1 2 3 4 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256 代入 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 x F( x) o ? o ? 1 ? o ? o ? o 用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算 解 或 此式应理解为极限 一、 0 – 1 分布 是否超标等等. 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗 X = xk 1 0 Pk p 1 - p 0 p 1 应用 场合 或 §2.3 二项分布 二、 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0–1 分布是 n = 1 的二项分布 二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273? 由图表可见 , 当 时， 分布取得最大值 此时的 称为最可能成功次数 x P ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .0