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第二章 控制系统数学模型 数学模型的定义 数学模型的形式 第一节 控制系统的微分方程 一、建立系统微分方程式的一般步骤如下： 二、微分方程式的建立 （一）弹簧—质量—阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。当外力f (t)作用时，系统产生位移y(t)， 要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式。f (t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下： （3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有： 式(2.4)还可写成: 图2-2所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。 要求列出uc(t)与ur(t)的方程关系式。 （2）列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下： （3）Md和ia是中间变量。电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比，磁通恒定，有: 许多表面上不同的物理系统：机械系统、电气系统可能会有完全相同的数学模型。 建立合理数学模型的方法 数学模型越精确就越复杂，从工程的角度出发：在要求的精度下，以最简化的形式反映系统的动态过程，根据系统的结构参数和系统要满足的技术指标，忽略一些次要因素，使模型准确反映系统的本质，又能简化分析计算工作。 常见非线性情况 尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。 三 线性化方法 线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。 * * 本章主要内容: 2.I 2.2 2.3 2.4 2.5 控制系统的微分方程 非线性数学模型的线性化 拉氏变换及其反变换 典型环节及其传递函数 系统方框图和信号流图 数学模型： 静态模型：参数对时间的变化可以忽略 动态模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 建立数学模型的方法： 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 时间域： 微分方程 差分方程 状态方程 复数域： 传递函数 结构图 频率域： 频率特性 确定系统的输入量和输出量 根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程 消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式 图2-1 弹簧—质量—阻尼器系统 （1）运动部件质量用M表示. （2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有： 式中 f 1(t)——阻尼器阻力； f 2(t)——弹簧力。 (2.1) (2.2) 式中B —— 阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有： f2 (t) = Ky(t) 式中 K—— 弹性系数。 (2.3) （4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式 : (2.4) 式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。 (2.4a) 则有 (2.4b) 令 TB和TM是图2-1所示系统的时间常数。1/K为该系统 的传递系数，它的意义是：静止时系统的输出与输入 之比。 列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在 方程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统 均有质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次总比右端 的高。 图2-2 R-L-C电路 （二）R-L-C电路 （1）根据基尔霍夫定律可写出原始方程式： (2.5) （2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系： (2.6) （3）消去式(2.5)、式(2.6