五 特征值与特征向量.pptVIP

* 矩阵的特征值与特征向量 一. 特征值与特征向量的求法 1.利用定义求特征值与特征向量 注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为此，首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特征向量即求齐次方程组 (A-?E)x=0 的基础解系. 2.利用公式求特征值与特征向量 二. A 与对角阵相似的解题方法 注：当矩阵有重特征值时，我们用定理“A 与对角阵相似的充要条件为 r(A-?iE)=n-ri”来判定 A 能否与对角阵相似，其中ri为特征值 ?i的重数，n 为矩阵 A 的阶数. 注：矩阵相似对角化的步骤：(1) 求出 A 的所有特征值 ?1, ?2,…, ?n ，若 ?1, ?2,…, ?n 互异，则 A 与对角阵相似；若?1, ?2,…, ?n中互异的为 ?1, ?2,…, ?m，每个?i 的重数为 ri，当 r(A- ?i E)=n- ri时(i=1,2,…m)，A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似. (2) 当 A 与对角阵相似时，求出 A 的 n 个线性无关的特征向量 ?1, ?2, …, ?n，并令 P=(?1, ?2, …, ?n)，则 P 可逆，且 P-1AP=?. 注：对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵，P的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵. 当 A 的特征值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化，即可求得正交阵 Q；当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值一定对应有 k 个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵 Q 来了. 三. 方阵 A 及其特征值、特征向量的互求 四. An 的求法 五. 证明题 *