五章 常用概率分布.pptVIP

第五章 常用概率分布 二项分布 二项分布的概念与特征 一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏: 每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。 先后摸5次，摸到黄球次数为0、1、2、3、4和5的概率分别是多大？ 该实验有三个特点： 一、是各次摸球是彼此独立的； 二、是每次摸球只有二种可能的结果，黄球或白球； 三、是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。 具备这三点， n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。 例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为π。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？ 因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效。 医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。 如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为?，阴性结果的发生概率均为（1－?）；而且各个观察对象的结果是相互独立的： 那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，π）。 二项分布的概率函数P(X)可用公式（5-1）来计算。 例5-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？ 由表5-1可知,各种可能结果出现的概率合计为1，即?P(X)=1（X=0,1,…,n）。 因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是 P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216 =0.936 也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－0.064=0.936 二项分布的特征 二项分布的图形特征 ?接近0.5时，图形是对称的；图5-1 ?离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。图5-2 当n→∞时，只要?不太靠近0或1， 当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。 二项分布图形取决于?与n，高峰?=n?处 二项分布 图5-1 π=0.5时,不同n值对应的二项分布 二项分布 图5-2 π=0.3时, 不同n值对应的二项分布 二项分布的均数和标准差 总体均数： 方差： 标准差： 如果将出现阳性结果的频率记为 总体均数： 标准差： 例5-4 研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。 二项分布的应用 （一）概率估计 例5-5 　如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？ 从n=150，π=0.13的二项分布，由公式（5-1）和（5-2） 可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为 （二）单侧累积概率计算 二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为 出现阳性的次数至少为k次的概率为 例5-6 例5-5中某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？ 根据公式（5-10）至多有2名感染钩虫的概率为 至少有20名感染钩虫的概率为 研究非遗传性疾病的家族集聚性 非遗传性疾病的家族集聚性(clustering in families)，系指该种疾病的发生在家族成员间是否有传染性？如果没有传染性，即该种疾病无家族集聚性，家族成员患病应是独立的。此时以家族为样本，在n个成员中，出现X个成员患病的概率分布呈二项分布；否则，便不服从二项分布。 例5-7 某研究者为研究某种非遗传性疾病的家族集聚性，对一社区82户3口人的家庭进行了该种疾病患病情况调查，所得数据资料见表5-1中的第（1）、（2）栏。试分析其家族集聚性。 如果该社区的此种疾病存在家族集聚性，则以每户3口人的家庭为样本，在3个家庭成员中，出现X（=0，1，2，3）个成员患病的概率分布即不服从二项分布。为此，可作如下假设检验。 H0：该疾病的发生无家族集聚性 H1：该疾病的发生有家族集聚性 =0.10 本例调查的总人数为：N=82×3=246（人） 其中患病人数为： D=0×26+1×10+2×28+3×18=120（人） 以这246人的患病率估计总体的患病率，即π=D/N=120/246=0.49。 在n=3、π=0.49时，利用二项分布，求得X=0，1，2，3的