五章 矩阵的特征值和特征向量.pptVIP

第五章 矩阵的特征值和特征向量 向量的内积和正交化 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 §4 实对称矩阵的对角化 (6)矩阵 和 的特征值相同。 求特征值、特征向量的步骤： 求齐次线性方程组 的一个基础解系 即可求出特征值 ; 写出特征方程 求其所有的 根， 所以，A的特征值为 按照同样的方法： 特点： （1） 是代数方程，复数内有个根， 有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。 (2) 的特征向量只属于一个特征值 ， 而 属于 的 特征向量却有无数更多个。 §3 相似矩阵 矩阵的相似有以下关系： 1）反身性；2）对称性；3）传递性。 矩阵相似的性质： 4）若 与 相似，则 注： 1）定理5的 条件必要但不充分。 2）若两个矩阵特征值不 相同时，则其一定不相似。 3）设 为他们的 某个特征值， 为 关于 的特征向量， 则 为 的 关于 的特征向量. 　　利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 . 证明： 证毕。 说明 　　　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 A能否对角化？若能对角 例1 所以，A的特征值为 * * * 回忆: §1 向量的内积和正交化 推广到实数域R上的n维实向量空间 定义1 内积 说明 　　 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 内积的运算性质 (施瓦兹不等式） 当 时上式显然成立 当 时， 证毕 定义2 令 长度 范数 向量长度具有以下性质 （1）非负性 只有当 时 （2）齐次性 （3）三角不等式 证明： 根据内积的性质有 根据施瓦兹不等式，有 从而 即 当 时， 即 定义3 注：零向量与任何向量都正交. 定义4 定义5 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。 定理1 若 是正交向量组，则该向量组线性无关。 设 由于对于任意向量 则 即 由于 是一正交向量组， 故当 时， 因此有 又因为 所以 故 线性无关 定义6 设n维向量 是向量空间 的一组基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。 例如 同理可知 基 正交基 标准正交基 （1）正交化，取 ， （2）单位化，取 例1 用施密特正交化方法，将向量组 标准正交化. 解 先正交化， 令 施密特正交化过程 再单位化， 得标准正交向量组如下 例2 解 把基础解系正交化，即为所求．令 定义7 定理3 　　 为正交矩阵的充要条件是 的列(行) 向量都是单位向量且两两正交． 由此可知A的列向量组构成 的 一个标准正交基。 同样的方法，行向量组也是。 例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵． 解 （2）由于 所以它是正交矩阵． 定理2 例3 设 都是 阶正交矩阵，且 ，求 ． 提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？ 解 由 ，可知 ，于是 所以 §2 矩阵的特征值和特征向量 应当注意，根据定义特征向量不能是零向量． 给定矩阵A，如何求A的特征值和特征向量呢？ 设该齐次线性方程组的解空间为 ． 中的任一非零向量都是 的属于的 特征向量。 称为关于 的 属于特征值 的特征子空间 根据齐次线性方程组有非零解的条件可知， 中就含有非零解向量． 的特征方程 的特征多项式 特征多项式展开为 我们知道 次复系数多项式有 个且恰有 个根（重根按重数计算），故 阶方阵有 个复特征值． 设 的 个特征根（重根按重数计算）为 则有 将该式展开，然后与上式比较系数，即可得： 从上式（２）可看出：， 有特征值０的充分必要条件是 另外从特征值的定义可知， 对角矩阵的特征值就是它的主对角线上 的所有元素． 若 的特征值是 ， 是 的属于 的特征向量，则 的特征值是 是任意常数) 的特征值是 是正整数) 若 可逆，则