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习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件:
(1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件;
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件一分钟内呼叫次数不超过次};
(3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件寿命在到小时之间}。
解 (1) , .
(2) 记为一分钟内接到的呼叫次数,则
, .
(3) 记为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则
, .
2. 袋中有个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设{取得球的号码是偶数},{取得球的号码是奇数},{取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:
(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).
解 (1) 是必然事件;
(2) 是不可能事件;
(3) {取得球的号码是2,4};
(4) {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10};
(5) {取得球的号码为奇数,且不小于5}{取得球的号码为5,7,9};
(6) {取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6,8,10};
(7) {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}
3. 在区间上任取一数,记,,求下列事件的表达式:(1);(2);(3);(4).
解 (1) ;
(2) ;
(3) 因为,所以;
(4) 4. 用事件的运算关系式表示下列事件:
(1) 出现,都不出现(记为);
(2) 都出现,不出现(记为);
(3) 所有三个事件都出现(记为);
(4) 三个事件中至少有一个出现(记为);
(5) 三个事件都不出现(记为);
(6) 不多于一个事件出现(记为);
(7) 不多于两个事件出现(记为);
(8) 三个事件中至少有两个出现(记为)。
解 (1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7);(8).
5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设表示事件“第次抽到废品”,,试用表示下列事件:
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品;
(2) 只有第一次抽到废品;
(3) 三次都抽到废品;
(4) 至少有一次抽到合格品;
只有两次抽到废品。
解 (1); (2); (3);
(4); (5).
6. 接连进行三次射击,设={第次射击命中},,{三次射击恰好命中二次},{三次射击至少命中二次};试用表示和。
解
习题二解答
1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取,样本点总数,记求概率的事件为,则有利于的样本点数. 于是
2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率;
(2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率;
(3) 二次取得的球为红、白各一的概率;
(4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式,样本点总数. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为.
(ⅰ)有利于的样本点数,故
(ⅱ) 有利于的样本点数,故
(ⅲ) 有利于的样本点数,故
(ⅳ) 有利于的样本点数,故 .
3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式,样本点总数.
(ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利样本点数为,所求概率为 .
(ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为,所求概率为 .
4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:
(1) 2只都合格;
(2) 1只合格,1只不合格;
(3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为,则
注意到,且与互斥,因而由概率的可加性知
5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:
(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。
解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数
(ⅰ)含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
(ⅱ)含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3
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