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第十章 曲线积分和曲面积分 1. 第一型曲线积分和第二型曲线积分有什么关系？ 答：第二型曲线积分是借助于第一型曲线积分定义的，但是它与第一型曲线积分的一个主要 区别是：它和曲线的方向有关，这是因为切向量(cosα, cos β, cosγ) 和曲线的方向有关， − 因此 ，其中 表示与 方向相反的曲线。 Pdx +Qdy +Rdz − Pdx +Qdy +Rdz L L ∫ ∫− L L 这种区别在计算公式上的表现是：在光滑曲线 ： 上 L x ϕ(t), y ψ(t), z ω(t),α ≤t ≤β β ′ 2 ′ 2 ′ 2 的第一型曲线积分为： ϕ ψ ω ϕ +ψ +ω 。 ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ∫f x y z ds ∫α f t t t t t t dt L 右边的定积分的上限总大于下限，而对于第二型曲线积分，如果取 的方向与参数 增加的 L t 方向一致，则有： ( , , ) ( , , ) ( , , ) ∫P x y z dx +Q x y z dy +R x y z dz L β ′ +Q ϕ t ψ ω ′ + ′ ( ( t t ), ( ), ( )) (t) R ( (t), (t), (t)) (t)}dt P t t t t ψ ϕ ψ ω ω { ( ( ), ( ), ( )) ( ∫α ϕ ψ ω ϕ ) 而∫− Pdx +Qdy +Rdz L α ′ +Q ϕ ψ ω ψ′ ′ t t t ( ( ), ( ), ( )) (t) +R ( (t), (t), (t)) (t)}dt ∫β {P (ϕ(t),ψ(t),ω(t))ϕ (t) ϕ ψ ω ω 即右端