三维函数计算机画法几何初步.pdf

许可复制 著作权人姓名: 史豪晟 龚心宇 霍元华 维函数计算机画法几何初步 —— 作三维函数图像的探索 TI 作者：史豪晟 龚心宇 霍元华 关键词：投影系，旋转，视角，选定空间 摘要：高中阶段对变量群的认识，已不单是我们所熟悉的二维变元组。在很多运 算中，我们都运用了一些技巧来解决这些繁琐的计算。然而，我们依然可用以前 的数形结合思想来认识这种关系。 我们引入三维曲面函数F （x ，y，z ）=0。 在本文中，我们将利用计算机优秀的图形演化能力做出三维函数图像。 一.引言 高中阶段对变量群关系的认识，已不单单是自变元与因变元之间的关系，更 多的数组维数增大了我们的运算量，这不得不引发我们的 索。在不等式 b/a+n*a/b ≥k 中，或在克拉珀龙方程中，我们不难发现，变元组维数从我们对单 值函数 （图1 1）的二维跃至了三维。那么我们能不能用传统的数形结合思想来 认识这种关系呢？ 答案是肯定的，我们引入了三维曲面函数F （x ，y，z ）=0 （注：三维曲面 函数不一定是单值函数，（图1 2 ）即Z （x ，y ）=a │a ∈R 且a =c 时未必仅 n n n n 有一个投影位置在Z=an 平面上相同的点为解。） 计算机提供了优秀的图形演算及作图功能。在本文中，我们引入的投影平面 解出的参数方程简化了以往的线形代数方程，使图形运动速度增快了许多倍。 二.引入投影系，即标准坐标系 一般来说，二维包含于三维，笛卡尔二维坐标系与三维坐标系有密切的联系。 计算机图形的表达，其实是用二维表达空间图形的方法。为了更好地演示图像， 并使之动态化，我们引入了两个坐标系。一是标准坐标系，它是固定的，并在图 像中是不可见的 （图２ １）。它决定了三维最终的表达形式。二是旋转坐标系， 它是三维图像中最直接的作图像。三维函数图像随旋转系一起转动，并且标准系 的原点与旋转系重合。由于旋转系的相对运动，每个曲面上的点的绝对坐标随之 不断变化，这个方法即实现了图像的动态化。 关于标准坐标系的编排法则必须吻合上文中提到的原 则。我们将标准坐标系规定为平行于X 轴，方向相反的标准 系中的矢量垂直于屏幕。并且Y 轴，Z 轴分别与计算机作图 系中相应的轴平行。这个标准系将成为本文中的主要作图工具。 .旋转系的旋转运动 在这一章中，我们将具体阐述旋转系中的参数旋转法和矩阵旋转法。利用前 者，我们采用数据库的方法编程，替代了多次取值法，使计算机运行速度增快多 倍。关键是后者，我们利用确切的视角作图，将为下章作重要的基础铺垫。 ． 参数法解决图形旋转问题 3 1 高中阶段提供的参数方程方法在二维坐标系中可以使一个点绕某一个固定 点旋转。旋转方向符合右手螺旋定则。在三维直角坐标系中，我们可以将这种方 法衍伸。 由于点是组成立体形的最基本元素，我们从点入手，构造 这个过程。通过观 ，普通情况下点的旋转是沿其所在平面 （图 3 1）并绕其旋转中心上的法矢量进行运动的，因此我 们可以由圆的参数方程对动态旋转作以下讨论： 1．一个点绕Z 轴旋转 （横向旋转） 其Z 轴坐标不变，而沿其所在的平行于XOY 平面的平面（图3 2 ）旋转。 由于不同立体形上的点的X ，Y 轴坐标不一致，所以在平面 N`上，此点的位矢 有一个相对于标准X`轴在N`上的平行矢量的夹角（初始角度）。正因为每一个点 在其平面上都有一个初始角度，这个角度决定了点与点之间的相对关系。因此， 在计算时，我们必须将这个初始角也考虑进去。 以下是初始角α的分类：