实变函数直播课程01 02.pptVIP

实变函数（0195） 正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着许多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。 R-积分的局限性 可积性不易验证。 积分与极限交换顺序的条件太苛刻。 积分不完全是微分的逆运算。 主要内容 集合论 空间点集论 测度论 可测函数 Lebesgue积分论 D.可数个可数集的并集是可数集。若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定，各记号跑遍一个可数集 第三章测 度 论 例3：证明 直播课程二 例4： 第二章 点 集 主要内容 度量空间、 n 维欧氏空间简介 聚点、内点、界点等概念 开集、闭集、完备集。 直线上的开集、闭集及完备集的构造。 1 明确 n 维欧氏空间中极限概念主要依 赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极 限理论中的作用。 2 理解聚点，孤立点、内点、外点、界 点的意义，掌握有关性质。 3 理解开集、闭集、完备集的意义，掌 握其性质。 4 理解直线上开集、闭集、完备集的构 造。 5 理解康托集的构造、特性。 基本要求 例1 例2 主要内容 外测度及其性质。 Lebesgue 可测集及其性质。 基本要求 理解测度的意义。 理解外测度的意义，掌握其有关性质。 理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 * 直播课程一 比如，连续函数必定可积，但是 具有什么性 质的不连续函数也可积 呢？如果改变积分的定义，可积分条 件又是什么样的？连续函数不一定 可导，那么可导的充分必要条件又是 什么样的？ …… 什么 是 测度呢？简单地说， 线 段的长度 , 平面 图形 的 面积 , 空间 立 体 的 体积 就是它的测度。 测度的概念 对于实变函数论十分重要。集合的测 度这个概念是由法国 数学家勒贝格 提出来的。 数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。从黎曼积分的记号 可以看出，它含有两个要素及一个运算 （1）积分区间 （2）被积函数 （3）积分运算 本课程的中心内容： 推广黎曼积分为勒贝格积分 记号： 注意 这里E是欧几里德(Euclid)空间的点集， 不必是区间， 是可测函数，而积分运 算依赖所考虑的测度。 第一章 集 合 主要内容 集合及其运算 集的对等及其基数 基本要求 1 理解集的概念，分清集的元与集的归属关系， 集与集之间的包含关系的区别。 2 掌握集之间的并、交、差、余运算。 3 掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4 理解集列的收敛、单调集列的概念。 5 掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6 理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用 定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 7 理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、 基数为 C 的集合的性质，理解不存在最大基数的定理 的意义。 可数集的性质 任何无限集必含有可数子集 可数集的子集至多是可数的。 即或为有限集或为可数集。 可数个可数集的并集是可数集。 A= { } n x x x a , , , 2 1 L , ( ) ( ) ( ) n k x x x k k k . , 2 , 1 ; , , 2 1 L L = = 则 A 为可数集。 例1：证明 例2 *