实变函数论（西南）辅导课程一至九.pptVIP

实变函数 主讲教师 ：吴行平 第一章 集 合 本章主要介绍集合的基本概念，运算及其运算性质。通过本章的学习，要掌握集合的基本概念及运算规律，掌握可数集的基本概念及其性质，理解集合对等的概念，了解基数的概念，同时我们要知道一些常用的可数集与不可数集。 第一节 集 合 一、概念 二、表示法 三、简单术语 一、概 念 集合：在一定范围内的个体事物的全体， 当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中的每个事物叫做该集合元素。 注意：1 集合的对象是确定的。 2 集合的元素是互异的. 3 任一对象或事物x被当作某一给定集合A的元素时,x或者是A的元,或者不是A的元,二者必居其一,而且只居其一. 例1：1，2，3，5，8五个自然数构成一 个集合。 例2：全体自然数构成一个集合。 例3：全体大个子不构成一个集合。 二、表示法 1、列举法： 2、描述法： 三、一些简单术语 第二节 集合的运算 一、概念 1 并集 2 交集 3 差集 4 上限集与下限集 二、运算规律 1 并集 （1）设A,B是两个集。由A中的元以及B中的元的全体所成的集称为 A,B两者的并，记成 2 交 集 （1） 设A,B是两个集，由同时属于A与B两者的那些元所成的集称为A与B的交，记成 （2）设 ， 4 上限集与下限集 （1）上限集 实变函数 主讲教师 ：吴行平 4 上限集与下限集 （1）上限集 （2）下限集 设 是任意一列集，对于集列那种除有限个下标外，属于集列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列 的下限集或下极限，记为 ，可它表示为 （３）极限集 　　　如果　　＝ 　　，则称集列　　收敛，并将这一集称为　　的极限，记为 第三节 对等与基数 一 对等 二 基 数 根据定理1，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用 表示集合A的基数 第四节 可数集 本节我们主要介绍一类非常重要的无限集——可数集。通过本节的学习，我们要掌握可数集的概念及其运算性质，同时我们还要知道一些常用的可数集。 一、可数集合的概念 二、可数集的性质 第五节 不可数集 一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合 二、不可数集合 实变函数 主讲教师 ：吴行平 第三节 对等与基数 一 对等 二 基 数 根据定理1，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用 表示集合A的基数 第四节 可数集 本节我们主要介绍一类非常重要的无限集——可数集。通过本节的学习，我们要掌握可数集的概念及其运算性质，同时我们还要知道一些常用的可数集。 一、可数集合的概念 二、可数集的性质 第五节 不可数集 一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合 二、不可数集合 实变函数 主讲教师 ：吴行平 第五节 不可数集 一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合 二、不可数集合 实变函数 主讲教师 ：吴行平 实变函数 主讲教师 ：吴行平 实变函数 主讲教师 ：吴行平 第三章????????? 勒贝格测度 从本章开始，我们将讨论欧几里德空间点集的测度理论。测度概念在 中是长度概念的推广，在 中是面积概念的推广，在 中是体积概念的推广。我们首先介绍外测度、内测度等概念，然后采用卡拉皆屋铎利的方法在点集论的基础上直接定义中L测度，最后讨论可测集的性质和可测集类。 第一节 外 测 度 本节主要讨论有界点集的外测度及其性质。通过本节的学习，我们要掌握外测度的概念及其性质，知道区间的外测度就是区间的体积，可数点集的外测度为零。 实变函数 主讲教师 ：吴行平 定理5 开集有下列性质 （1）任意个开集的并是开集； （2）有限个开集的交是开集。 证 （1）设 是一组开集，令 。任取 ，则有某个 故 的内点，从而更是G的内点。故G是开集。 （2）设 为开集。令 ，任取 则对每个k=1,2,…,n有 ，于是有 的邻域 ，k=1,2,…,n使 ，令