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概率论 概率论 第二节 随机变量的分布函数 分布函数的概念 分布函数的性质 小结 一、分布函数的概念 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么 分布函数 F(x) 的值就表示 X 落在区间 内 的概率. 设 X 是一个随机变量(离散型或连续型)，称 为 X 的分布函数. 也可记为 (1) 在分布函数的定义中, X 是随机变量, x是参变量. (2) F(x) 是随机变量 X 取值不大于 x 的概率. (3) 对任意实数 x1x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为： P{ x1X x2} 因此，只要知道了随机变量 X 的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. =P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 请注意 : 分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量. 当 　 时， 故 例1 设随机变量 X 的分布律为: 试求:(1)X 的分布函数及其图形； 解 （1） 由定义 ，可得 当 　时, 当 时， 当　　时， 故 下面我们从图形上来看一看。 分布函数图 注意右连续 不难看出， 的图形是阶梯状的图形，在 　处有跳跃，其跃度分别等于 练习： 抛掷均匀硬币, 令 求随机变量 X 的分布函数. 解 二、分布函数的性质 (2) 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量 X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一 个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件. (4) F(x) 右连续，即 (3) 试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数. 例 设有函数 F(x) 解 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(2)，故F(x)不能是分布函数. 不满足性质(3)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数. 或者 分布函数 分布律 离散型随机变量的分布函数 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 通常，离散型随机变量的分布函数 F(x) 是一个 上升的右连续的阶梯函数. F(x) 在 X 的每一个可能取值 处( ) 都有一个跳跃型间断点，其跃度为 思考：用随机变量 X 的分布函数 F(x) 表示下述概率 P(Xa)= ? P(Xa)= ? P(X=a)= ? 解 例 已知随机变量 X 的分布函数 试求 X 的分布律. 解: (1) 例 已知随机变量 X 的分布函数 试求：(1) 常数A，B之值； (2) P( | X | 1). (2) 解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x 0 时，F(x) = P(X x) = 0 0 a 当 x a 时，F(x) =1 例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中任 意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试 求 X 的分布函数. 当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 ) 由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x) =x / a 故 这就是在区间 [0，a]上服从均匀分布的 连续型随机变量的分布函数. 练习题 F(x) = P(X x) 故