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随机变量的函数 练 习 已知随机变量 X 的分布律为 求下列随机变量函数的分布律： (1)Y=cosX (2)Y=sinX (3)Y=2X- 概率论 概率论 第五节 随机变量函数的分布 问题的提出 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 小结 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 而且 X 取某值与 Y 取其对应值是两个同时发生的 事件，两者具有相同的概率. 故 如果 g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当 合并即可. 一般地，若X是离散型随机变量，X 的分布律为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 如： X ～ 则 Y=X2 的分布律为： Y ～ 例1 求下列各函数的分布律： 1. 确定Y、Z 的所有可能取值 2. 确定Y、Z 的每个取值的概率 步骤: 答 案 见 课 本 91 页 例1 解题思路: 三、连续型随机变量函数的分布 1.分布函数法 例2 已知 ，试求 　的概率密度. 解： 例 设 X 具有概率密度 , 求 Y=X2 的概率密度. 注意到 Y=X2 0 ，按分布函数的定义 当 y 0 时， 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ， 解： 当 y 0 时, 则 Y=X2 的概率密度为： 求导可得 若 从上例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中， 关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而 得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 . 用 代替{ X 2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X 的分布，从而求出 相应的概率. 这是求随机变量函数的分布的一种常用方法. 例如，用 代替 {e X≤ y } { X } 下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 . 此定理的 证明与前 面的解题 思路类似 已知随机变量 X 具有概率密度　　　 当函数 　　　是一个处处可导的单调函数时，则 Y =g(X ) 是 一个连续型随机变量 Y，其概率密度为 定理 其中 x =h(y) 是 y =g(x) 的反函数， 2. 公式法 当 时， 无意义，概率密度 当 时，由定理可得概率密度为 是单调增加的函数，且反函数为 解： (用公式法) 从而 的概率密度为 例2 已知 ，试求 　的概率密度. 若g(x)在不相叠的区间 上逐段严格单调， 其反函数分别为 均为连续函数，那么 Y=g(x) 是连续型随机变量，其概率密度为 补 充 定 理 例 设 X 具有概率密度 , 求 Y=X2 的概率密度. 请同学们自己用公式法求解！ 解： 例3 设X～U(0，π)，求 Y= sinX 的概率密度. (1). 分布函数法(课本93页) (2). 公式法(课本94页) 答案 定理 若随机变量 则 　 ，即服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正态分布. 特别地，若令 ，则 服从标准 正态分布 . 证明： 小 结 对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布 时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X 在 一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布 来求 P { g(X)≤ y }. 这一节我们介绍了随机变量函数的分布. 练习题 设随机变量X的分布律为： X －2 －1 0 1 3 P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X 2的分布律 二、设X～N（0，1