2014人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题.docVIP

3.1.1　方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． 比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1． 函数的零点不是点　我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点． 【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是(　　) A．(±1,0)B．(1,0) C．0D．±1 解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1． 答案：D 2．基本初等函数的零点 函数 零点(或零点个数) 正比例函数y＝kx(k≠0) 一个零点0 反比例函数(k≠0) 无零点 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 一个零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0 Δ＞0 两个零点 Δ＝0 一个零点－ Δ＜0 无零点 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 无零点 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 一个零点1 幂函数y＝xα α＞0 一个零点0 α≤0 无零点 【例2】若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 解析：∵b2＝ac， ∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0． 故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0． 答案：A 3．函数的零点与对应方程的关系 (1)方程f(x)＝0有实根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点． 【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值． 解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值． 解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得即 (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象联系密切，下面以a＞0为例列表说明． Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象 图象与 x轴交点 (x1,0)，(x2,0) (x0,0) 无交点 方程f(x) ＝0的根 x＝x1，x＝x2 x＝x0 无实数根 函数y＝ f(x)的零点 x1，x2 x0 无零点 因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系． 【例3－2】函数y＝f(x)的图象如图所示，则方程f(x)＝0的实数根有(　　) A．0个　　　B．1个 C．2个 D．3个 解析：观察函数y＝f(x)的图象，知函数的图象与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数根有3个． 答案：D 借助图象判断方程实数根的个数　由于“方程f(x)＝0的实数根函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x轴是否有交点即可． 4．判断(或求)函数的零点 (1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根． 例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝1－log3x． 解：(1)令＝0，解得x＝－3． 故函数f(x)＝的零点是－3； (2)令1－log3x＝0，即log3x＝1，解得x＝3． 故函数f(x)＝1－log3x的零点是3． (2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判