上海教育版高中数学二下12.4《椭圆的性质》教案.docVIP

12．4 椭圆的性质 上海市控江中学 杨慧 　一、教学内容分析 掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法.利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力.通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体验合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，学生逐渐体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质 二、教学目标设计 掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形．学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 三、教学重点及难点 重点：椭圆的几何性质及初步运用四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ 代后方程不变，说明椭圆关于轴对称； 代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称； 、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P（x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理. 相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？ 在椭圆的标准方程中，令，得，，得 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标；，. 相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方程中的就有了明显的几何意义. 问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？ 表示半焦距，表示短半轴长，因此，联结顶点和焦点，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，，即. 范围 问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围． 变形为： 这就得到了椭圆在标准方程下的范围： 同理，我们也可以得到的范围： 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围； 方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围 由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里. 三、例题解析 例1 已知椭圆的方程为. 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;] 写出与椭圆有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程. 解：解答见书本P48 [说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用. 例2（1）求以原点为中心，一个焦点为且长轴长是短轴长的倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程. 解：（1）由题意可知：，由，有，，; 椭圆的标准方程为：.[ （2）或. [说明] 此题利用椭圆标准方程中的关系来解题，要注意焦点在轴上或轴上的椭圆标准方程. 例3已知直线与椭圆，当在何范围取值时， 直线与椭圆有两个公共点； 直线与椭圆有一个公共点； 直线与椭圆无公共点. 解：由可得 ； （1）当时，直线与椭圆有两个公共点； （2）当时，直线与椭圆有一个公共点； （3）当时，直线与椭圆无公共点. [说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本