初三数学(第14讲)图形的全等2.doc

初 三 数 学（第14讲） 主讲教师：潘 诚（苏州立达中学） 【教学内容】 第24章 图形的全等 全等三角形的识别（一）、（二） 【重点难点】 重点：⑴掌握三角形全等的识别方法（一）：如果一个三角形的三边与另一个三角形三边对应相等那么这两个三角形全等。简称：“S.S.S.” ⑵掌握三角形全等的识别方法（二）：如果一个三角形的两边和它们的夹角与另一个三角形的两边和它们的交角对应相等，那么这两个三角形全等。简称：“S.A.S.” 难点：“S.S.S.”、“S.A.S.”识别方法的应用。 【学习方法】 1．我们知道一个三角形有六个元素，即三边a、b、c和三角∠A、∠B、∠C例1.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB＝EC,∠ABE＝∠ACE，试说明：∠BAE=∠CAE. 分析: 要识别∠BAE=∠CAE.关键是找这两个角在哪两个三角形中，从图中可看出若△ABE和△ACE、△ABD和△ACD全等则结论成立，本题以此为突破口来证明。 解: 在△BEC中，∵BE=CE, ∴∠EBC=∠∵∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC， 在△AEB和△AEC中∴△AEB≌△AEC。∴∠BAE=∠CAE. 说明：本题很容易出现用“SSA”的办法来说明，这种方法不正确，即EB=EC, ∠ABE=∠ACE，AE=AE.得到△AEB≌△AEC ∴∠∠CAE. 因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 例2. 若△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝17cm。△DEF中，∠D＝70°，∠E=80°，DE=17cm，那么△ABC与△DEF全等码？为什么？ 分析： 在说明两个三角形全等的问题时，有两个角和一边分别相等的两个三角形不一定全等。两个三角形全等，两个角与一边不是仅仅“相等”，还要注意说明对应两字。并且要满足对应的三角形全等的判定。 解：不全等。这是因为（如图） 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC=17cm 在△DEF中，∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－70°－80°＝30°，∠D＝70°，ED＝17cm。但AC是∠B的对边，DE是∠F的对边，又∠B≠∠F，所以这两个三角形不全等。 例3．已知：如图，AD=BC,AC=BD.试说明：⑴∠DAB=∠CBA; ⑵ ∠ACD＝∠BDC。 分析：由于∠DAB，∠CBA分别在△DAB和△CBA中，如果这两个三角形全等，根据全等三角形的特征，结论则成立。 解：在△ABD和△BAC中， ∵ AD=BC,BD=AC, AB＝AB ∴△ABD≌△BAC ∴∠DAB=∠CBA 同理可证：△ACD≌△BDC ∴∠ACD＝∠BDC。 例4．如图，是一个平分角的仪器，其中，AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下。沿AC画一条射线AE。AE就是角平分线。说明它的道理。 分析：要AE是角平分线，即要构造两个三角形全等，说明∠BAE=∠DAE。 解：在△ABC和△ADC中， AB=AD，BC=DC,AC=AC ∴△ABC≌△ADC （SSS） ∴∠BAC＝∠DAC。 例5.如图，某一养鱼户想测量一池塘两端AB的长度。请你根据你学过的全等三角形的知识为他设计一个方案，使得在陆地上就能测量出池塘两端A、B的距离，并说明其中的道理。 分析： 要运用全等三角形的知识来测量池塘的宽度，不能采用“SSS”方法来设计，目前我们只能考虑“SAS”方法在AB的一侧构造一个三角形使它与AB所在的一个三角形全等来设计。 解：方案：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连结AO并延长到B’，使OB’=OB.连结OB并延长到A’，使OA’=OA,连结A’B’并测量出它的长度就是A、B间的距离。 理由：由图形可知：OA =OA’，OB=OB’，∠AOB＝∠A’OB’, 所以，△AOB≌△A’OB’,(SAS)，所以 AB=A’B’ 例6： 已知△ABC为正三角形，点M为射线BC上的任一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BM和AM相交于Q点。就下面给出的三种情况，如图⑴、图⑵、图⑶，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM的度数大小？并利用图⑶证明你的结论。 分析： 本题通过测量对角的大小有直接的感性认识，根据这一认识判断结论，并寻求答案的证明。我们通过测量可得到∠BQM均相等并近似等于60°，因此可猜测出∠BQM=60°。 解 ：用量角器在三个图中分别测∠BQM,可知∠BQM∠BQM=60°。如图⑶证明如下： ∵△ABC为正三角形， ∴AB=BC=AC,∠BAC=∠BCA=60°。 ∵BM=CN, ∴BM－CB=CN－CA,即CM=AN. ∵∠BAN＝180°－60°＝∠ACM,