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5-21 数列前N项和公式
数列前N项和 4.设函数 f(x)=log2x-logx2 (0x1), 数列 {an} 满足 f(2an)=2n, n=1, 2, 3, …. (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)判断数列 {an} 的单调性. 4.设函数 f(x)=log2x-logx2 (0x1), 数列 {an} 满足 f(2an)=2n, n=1, 2, 3, …. (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)判断数列 {an} 的单调性. 解: (1)由已知 log22an- =2n, log22an 1 ∴an- =2n, 1 an 即 an2-2nan-1=0. 解得 an=n? n2+1. 故 an=n- n2+1 (n?N*). ∵0x1, 即 02an1, ∴an0. (2)∵ = an+1 an (n+1)- (n+1)2+1 n- n2+1 (n+1)+ (n+1)2+1 n+ n2+1 = 1. 而an0(n?N*), ∴an+1an. 故数列 {an} 是递增数列. 8.已知数列 {an}, {bn} 满足 a1=1, a2=a(a为常数), 且 bn=anan+1, 其中, n=1, 2, 3,…. (1)若 {an} 是等比数列, 试求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn 的公式. 8.已知数列 {an}, {bn} 满足 a1=1, a2=a(a为常数), 且 bn=anan+1, 其中, n=1, 2, 3,…. (1)若 {an} 是等比数列, 试求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn 的公式. 解: ∵{an} 是等比数列, a1=1, a2=a, ∴a?0, an=an-1. 又 bn=anan+1, ∴b1=a1a2=a, 且有: bn+1 bn anan+1 an+1an+2 = = =a2. an+2 an ∴{bn} 是以 a 为首项, a2 为公比的等比数列. 当 a=1 时, Sn=1+1+…+1=n; 当 a=-1 时, Sn=-1-1-…-1=-n; 当 a??1 时, Sn= . 1-a2 a(1-a2n) 1-a2 a(1-a2n) 故 Sn= n, a=1, -n, a=-1, , a??1.
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