7.5 易误点技巧总结——函数(一).doc

1．映射: AB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。比如：? （1）设是集合到的映射，下列说法正确的是　 A、中每一个元素在中必有象??? B、中每一个元素在中必有原象　　 C、中每一个元素在中的原象是唯一的 　D、是中所在元素的象的集合 ? （2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________； ? （4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个（答：12）； ? （5）设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是_____（答：或{1}）。 ? 2．函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。比如： ? （1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有????? 个（答： 0或1）； ? （2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝????? （答：2） ? 3． 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 ? 如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） ? 4． 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： ? （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。比如： ? ①函数的定义域是____(答：)； ? ②若函数的定义域为R，则_______(答：)； ? ③函数的定义域是，，则函数的定义域是__________(答：)； ? ④设函数，Ⅰ．若的定义域是R，求实数的取值范围；Ⅱ．若的值域是R，求实数的取值范围（答：Ⅰ．；Ⅱ．） ? （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。 ? （3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。比如： ? ①若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：）； ? ②若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：[1,5]）． ? 5．求函数值域（最值）的方法： ? （1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），比如： ? ①求函数的值域（答：[4,8]）； ? ②当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）； ? ③已知的图象过点（2,1），则的值域为______（答：[2, 5]） ? （2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，比如： ? ①的值域为_____（答：）； ? ②的值域为_____（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）； ? ③的值域为____（答：）；（4）的值域为____（答：）； ? （3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性， ? 如求函数，，的值域（答： 、（0,1）、）； ? （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， 如求，，的值域为______（答：、、）； ? （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，比如： ? ①已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）； ? ②求函数的值域（答：）； ? ③求函数及的值域（答：、） ? 注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。 ? （6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： ? ①型，可直接用不等式性质， ? 如求的值域（答：） ? ②型，先化简，再用均值不等式， ? 如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：） ? ③型，通常用判别式法； ? 如已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值（答：） ? ④型，可用判别式法或均值不等式法， ? 如求的值域（答：） ? （7）不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定