空间向量 - 副本.doc

空间向量 一 重点难点：法向量的求法 二 知识点： 1、空间向量的概念： 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． 向量的大小称为向量的模（或长度），记作． 模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量． 与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作． 方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法： 3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍． 4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：；结合律：． 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则． 9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：． 10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作． 11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为． 12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 13若，为非零向量，为单位向量，则有； ；，，； ；． 14量数乘积的运算律：；； ． 15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得． 16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是 ．这个集合可看作是由向量，，生成的， 称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标． 18、设，，则． ． ． ． 若、为非零向量，则． 若，则． ． ． ，，则． 19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量． 20、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点． 21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置． 22、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量． 23、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则 ，． 24、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 ，． 25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则 ，． 26、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有 ． 27、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有． 28、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则． 29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算． 30、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为． 31、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为． 考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直 2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直 3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题 例题1. 在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是 （ A ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 练习. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ A ） （A）（）和（）； （B）（）； （C）（）和（）； （