函数与方程思想在例题教学中的体现.doc

函数与方程思想在例题教学中的体现 1．已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，aR． （1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x [0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程； （2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数； （3）当a＞0时，若对于任意的x1 [a，a＋2]，都存在x2 [a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合． 【答案】（1）2x＋y－3＝0．（2）当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．（3）{1}． 【解析】 试题分析：（1）当a＝－1，x [0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x2＋1．当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y＝f(x) (x [0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．（2）本题第一个难点在于化简方程，提取公因式；第二个难点，在于讨论三个条件关系. f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．此方程等价于x＝a或或所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．（3）对条件的转化是本题难点，本题从函数值域包含关系出发. 易得函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数， [ f(a＋2)，＋∞)．从而≥f(a＋2)．所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}． 试题解析：解：（1）当a＝－1，x [0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x2＋1． 当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2， 所以函数y＝f(x) (x [0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)， 即2x＋y－3＝0． 3分 （2）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4． 所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|． 此方程等价于x＝a或或 所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1； 当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1； 当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1． 9分 （3）当a＞0，x (a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0， 所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0． 所以当x [a，a＋2]时，f(x) [f(a)，f(a＋2)]， ， 当x [a＋2，＋∞)时，f(x) [ f(a＋2)，＋∞)． 11分 因为对任意的x1 [a，a＋2]，都存在x2 [a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024， 所以 [ f(a＋2)，＋∞)． 13分 从而≥f(a＋2)． 所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32． 因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足． 所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}． 16分 考点：利用导数求切线方程，利用导数求函数值域 2．已知集合={|在定义域内存在实数，使得成立} （Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由； （Ⅱ）证明：函数；. （Ⅲ）设函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 试题分析：（1）假设，则存在，使得成立，而此方程无实数解，所以；（2）构造函数，则，所以在（0，1）上有实数解，因此；（3）因为函数，所以，令,则t0,，由t0得，即a的取值范围是. 试题解析：（1）假设，则存在，使得 即，而此方程的判别式，方程无实数解， ∴。 令， 则， 又故， ∴在（0，1）上有实数解， 也即存在实数，使得成立， ∴。 因为函数， 所以存在实数，使得=+， =，所以，， 令,则t0,所以，， 由t0得，即a的取值范围是. 考点：1.零点存在性定理；2.构造函数求解；3.函数的值域 3．设函数，. （1）当（为自然对数的底数）时，求的