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哈工大2008/2009年度 秋 季学期 代数与几何 试 题(2009.1.9) 此试卷满分50分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分数 填空题（每小题2分，共10分） 1. 若阶矩阵的元素都是1，则的非零特征值是________. 3. 设是维向量空间的一组基，，在这组基下的 坐标为若也是的一组基，则由基 到基的过渡矩阵 _______ _ ___ . 4. 设 则A，B，C中 与D 既相似又合同的矩阵为___________. 5. 空间直角坐标系中曲线绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为 . 选择题（每小题2分，共10分） 1. 已知矩阵,伴随矩阵,且有非零解,则a的值为 【 】 (A) 2; (B) -2; (C) 1; (D) -1. 2. 实二次型 【 】 3. 设是3阶方阵，是中元素aij的代数余子式，的特征值是2，-2，1，则 的值为 【 】 (A) 1; (B) -1; (C) 2; (D) -2. 4. 设是维向量，令,,, 则【 】 必线性无关; 必线性相关; 仅当线性无关时，线性无关; 仅当线性相关时，线性相关. 5. 设为阶矩阵,为维列向量,若则对于下列方程组必有 【 】 必有无穷多解; 必有唯一解; 只有零解; 必有非零解. 三、（本题5分） 设, 3阶非零方阵B满足求的值. 四、（本题5分）求过点，垂直于直线，且平行于平面 的直线方程． 五、（本题6分）设已知齐次线性方程组的解空间是2维 的,求及的通解. 六．（本题6分）设为3阶实对称矩阵, 有0特征值, X为3维列向量, 且线性方程组 的基础解系为. (1) 用正交变换化二次型为标准形, 并求出所用的正交变换矩阵; 表示空间中何种二次曲面. 七、（本题5分）已知A与B相似,且证明 八、（本题3分）设阶矩阵的非零互异特征值为对应的特征向量分别为 又有齐次线性方程的一个基础解系为试问:当时, 向量组是否线性无关,证明你的结论. 2 1