巧分类求两数和的最小值————我的一堂高三复习课.docVIP

巧分类求两数和的最小值————我的一堂高三复习课 态度与感受影响着人的学习能力。如果学生觉得课堂不够安全和舒心，那么，学习效率就会大打折扣。同样，如果学生对课堂学习任务持消极的态度．那么他就可能心不在焉，无所用心。有效教学的关键因素之一，是不等式在数学中占有重要的地位对均值不等式内容的命题一。，当且仅当时，“=”号成立； ②，当且仅当时，“=”号成立； ③，当且仅当时,“=”号成立； ④，当且仅当时,“=”号成立. ⑤，当且仅当时,“=”号成立. 通过回顾，让学生抓住使用均值不等式求最值时重点关注三关键词抓正数凑常数看等数均值不等式几个正数和与积转化的依据，可以直接解决和与积的不等问题，是求函数最值的功能，其地位格外引人注目。，则的最小值为 . 【思路点拔】且与的积为定值2，直接运用均值不等式求解最小值. 【解析】，当且仅当时取等号. 例2.（2009湖南卷理11）若，的最小值为 【思路点拔】，显然，显然，至此积为定值的条件显而易见，可运用均值不等式求解最小值. 【解析】，又， ， 当且仅当取等号. 由体验到概括整合：用均值不等式求函数最值的基本思路，可构概括为积为定值，和有最小值。此类题型注重简单综合，题干所表达的均值不等式的三大特征：正数、积为定值、各项相等时取到等号，即通常所说的“一正二定三相等”三个条件都非常明显，大多数学生基本上能够一眼看穿命题意图，直接运用均值不等式顺利解答，给人以干净，利索之感。 提供资料，共同分类，进行比较，进一步体验： 类型①分式函数型 例3．（2010年高考重庆卷文科12）已知，则函数的最小值为___________ 【思路点拔】在条件正数的明显提示下，通过对函数解析式整理，将式子分开，分离出常数，则不难发现积为定值这一条件，至此再利用均值不等式求解函数最小值就易如反掌了. 【解析】，当且仅当时，. 概括整合①：此类题型中要求解最小值的函数多以分式形式出现，往往看似无法直接运用均值不等式进行求解。如若能将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，也就是说将原函数转化成形如（其中恒正或恒负）的形式，即可找到积为定值这一条件，然后再运用均值不等式求出最小值。 类型②整体代换型 例4．（2009天津卷理6）设若是与的等比中项，则的最小值为（ ） （A）8 （B）4 （C）1 （D） 【思路点拔】先用等比中项这一条件建立一个关系式，然后用此关系式进行整体代换，可得到积为定值这一条件，再用均值不等式求最值。 【解析】依题意得，所以，所以， 所以， 当且仅当即时“=”成立. 概括整合②：此类题型小巧而灵活多变，命题中所提到的其它知识点（如函数、数列、解析几何等）常常作为隐性条件，期待学生挖掘，从而建立等量关系（如例1：）。当学生在得到和为定值的等量关系后，如能以上例中的方法（简称“整体代换法”）巧妙使用“1”来代换，相信多数学生很快就得到积为定值的条件，至此可运用均值不等式求出最小值。但如何正确使用所得的等量关系，仍值得我们深思。 类型③加减配凑型 例5.(2010年高考重庆市理科7) 已知，，，则的最小值是（ ） （A）3 （B）4 （C） （D） 【思路点拔】根据条件所给等式两边加“1”后，可分解成两个正因式积为定值，再根据积的形式将设问通过加数减数凑和，方可运用均值不等式求解最小值。 【解析】，， 当且仅当即时“=”成立. 例6.（2010年高考四川卷文科11）设，则的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）4， 当且仅当,时等号成立；如取,满足条件. 概括整合③：此类题型的题设条件往往过于简单，有时甚至看似没有一样（如2010年高考四川卷文科11），学生常常感到无从下手，显然无法直接运用均值不等式解答。此时，应根据题设条件、设问等，通过合理的添项减项（如加一个数同时减掉这个数）来配凑使用均值不等式的所需的式子结构，得到积为定值的条件，方可正确运用均值不等式求出最小值。 类型④：化三为二型 例7．(2006重庆卷文12)若且，则的最小值是（ ） （A） （B）3 （C）2 （D） 【思路点拔】先对题设等式进行因式分解，找到两个因式的积为定值这一条件，再运用均值不等式对问题进行求解。 【解析】依题意知， ，， 即；当且仅当且时，如可取等号. 例8．(2006重庆卷理10)若且,则的最小值为 （A） (B) (C) (D) 【思路点拔】先对题设等式进行因式分解，找到两个因式的积为定值这一条件，再运用均值不等式对问题进行求解。