利用找、用、画突破相似图形学习困难.doc

利用找、用、画突破相似图形学习的困难 　　“图形的相似”是初中数学的主要内容之一，是全等图形的继续和延伸，图形的相似也是我们解决函数、圆、三角形等综合性问题的一个常用的知识点，在中考中占据着重要的地位.下面就相似三角形中几个常见的难点问题进行剖析，希望能为同学们在解题的思维、方法等方面提供帮助. 方法一 “找”―― 找要用到的相似三角形 例1 （20131，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G. （1）求证：△APB≌△APD. （2）已知DF∶FA=1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y. ①求y与x的函数关系式； ②当x=6时，求线段FG的长. 【解析】（1）由菱形的性质，得到AB=AD和AC平分∠BAD，即∠DAC=∠BAC，由“SAS”判断△APB≌△APD. （2）①由已知条件DF∶FA=1∶2，及要得到DP、PF之间的关系，我们可以思考是否用相似来解决，DF、FA、DP、PF这四条线段能否直接构成两个三角形，即用△AFP和△DPF来证明相似，我们发现这是不可能的.接下来考虑把其中某些线段转换，由△APB≌△APD得DP=BP，由DF∶FA=1∶2，得AF∶BC=2∶3，这样由“Z”字型相似，证得：△APF∽△CPB，[FPBP]=[AFBC]=[23]，得[yx]=[23]，即y=[23]x. ②当x=6时，y=4，则BF=10， 由△DGF∽△ABF得[FGBF]=[DFAF]=[12]， 求得FG=5. 【点评】解题关键是如何找到两个要用到的相似三角形，这就需要同学们结合已知条件及所求结论来“侦查”有用信息. 方法二 “用”―― 用相似三角形性质测距 例2 在“测量物体高度”的活动中，三个小组分别选择测量学校里不同的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别采集到了如下数据： A小组：测量一根长为1米的竹竿的影子长为0.8米，此时甲树的影长为4米. B小组：如图2①，乙树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，测得墙壁上的影子如图CD=1.2米，落在地面上的影子AC=2.4米. C小组：如图2②，丙树OP的影子除落在地面上外，还有一部分落在一个斜坡上，测得落在地面上的影子长OQ=2米，斜坡上影子长QR=4米，且∠OQR=150°. 根据上述信息分别求甲、乙、丙三棵树的高. 【解析】（1）如图3，已知：XZ=4，求XY.根据平行投影结论：在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成正比.得到[XYXZ]=[10.8]，由XZ=4，得XY=5. 所以甲树的高度为5米. （2）如图4，因为点B通过太阳光线照射投影在点D处，所以太阳光线的方向是直线BD方向. 过点C作CE∥BD交AB于点E.根据平行投影结论得[AEAC]=[10.8]，而AC=2.4，求得AE=3. 由条件AB∥CD，CE∥BD， 证得四边形CDBE是平行四边形，求得BE=CD=1.2，即AB=AE+BE=4.2. 所以乙树的高度为4.2米. （3）作法一： 如图5，首先确定太阳光线的方向是直线PR方向，得到[PMRM]=[10.8]，即PM=[54]RM. 由图可知：PO=PM-OM. 要求出PO的长度，就要分别求出PM、OM的长度，由图可知RM=MN+RN，此时我们就要分别求出OM、MN、RN的长度，而可证四边形OMNQ是矩形， 即OM=NQ，MN=OQ=2，此时就要求出QN、RN的长度，由条件∠OQR=150°，而∠OQN=90°，可得∠NQR=60°，即△NQR是内含30°角的直角三角形，因为QR=4，所以QN=2，RN=[23]，则RM=2+[23]，此时求得PM=[52+523]，所以PO=[12+523].所以丙树的高度为[12+523]米. 作法二： 如图6，使MQ∥PR， 由[OMOQ]=[10.8]，OQ=2， 求得OM=[52]. 在Rt△NQR中，∠NRQ=30°，QR=4， 求得QN=2，RN=[23].由[HNNR]=[10.8]，求得HN=[523]，所以PM=HQ=[523]-2， 所以PO=[1+532]. 【点评】在用相似解决实际问题时，首先画出需要的图形，然后常利用相似的性质：相似三角形对应高的比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，以及投影等知识得到比例式，选择恰当的未知数建立方程. 方法三 “画”――画相似图形觅得解答途径 例3 如图7，在正方形网格中，四边