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反证法在高中数学解题中的妙用 　　【摘要】 反证法是数学中应用较为常见的方法之一. 在高中数学解题中，有一些题目用正面直接方法求解往往难度极大，且费时费力，运用反证法求解此类问题不仅能提高解题效率，还可以开发思维能力，从而提高综合数学的能力. 本文从反证法的基本概述出发，阐明了反证法的理论基础和反证法解题的一般步骤，分析了反证法的应用范围，并针对具体的求解实例进行了反证法巧解的具体案例分析. 【关键词】 反证法；高中数学解题；适用范围；求解实例 我们都知道，反证法是数学中应用较为常见的方法之一，尤其是在高中数学中应用更是广泛. 数学的求解问题中，有些题目，用正面方法进行直接求解通常难度较大且费时，让我们证明或者是求解时感到比较困难，在有限的考试时间内很不划算. 而采用反证法则很容易解决. 然而，高中教材中缺乏针对反证法原理的相关介绍和总结，现将做题中经常遇到的反证法进行归纳和阐述. 一、反证法基本概述 反证法又称背理法，是求解数学问题的一种常用论证方法.其基本原理为：首先假设原命题的反命题是正确的，并将假设条件作为求解和推理的基础，再根据已知的公式、定理和定义以及原题中的已知条件进行逻辑推理和运算，以推出假设与逻辑的矛盾，从而肯定原命题的正确性. 通常，在棋类比赛中，有一种“弃子取势”的下棋策略，意思为：以牺牲某些棋子为代价，从而以获取优势. 科学家哈代曾说，背理法是远远优胜和高超于任何一种棋术的策略. 即使棋手牺牲几个棋子可能不会影响比赛结果，而数学家可以牺牲的是整个一盘棋. 反证法和其相似，都是一种为了巧妙取胜的最了不起的策略. 反证法即是要在假设命题的基础上进行推理认证，推出矛盾，推翻假设，从而证明原命题的正确. 通常有以下几种较为明显的矛盾： （1）自相矛盾；（2）与假设相矛盾；（3）与题中所给条件相矛盾；（4）与定理、公式相矛盾；（5）与事实相矛盾. 二、反证法的理论基础 反证法是以人的逻辑思维为依据的求解数学问题的方法. 反证法的理论基础是逻辑思维规律中的两大规律，即“矛盾律”和“排中律”. 这也间接说明了反证法是科学可信的. 排中律：排中律表示A要么是B，要么不是B，而没有其他可能性，也不具备其他属性. 排中律在一定程度上揭示了思维的规律，即通常来讲，一个命题要么为真，要么为假，而无其他可能性. 其用符号表示为：P∨ . 矛盾律：矛盾律又称不矛盾律，是表示同一个目标不能同时得出两个矛盾的判断，换句话来讲就是，同一个命题不能既得出否定答案又得出肯定答案. 矛盾律在某种程度上揭示了事物活动的规律性定律. 矛盾律用符号表示为：P∧ . 三、反证法解题一般步骤 反证法的一般步骤是如下： 首先，仔细审题，从题目中找出命题的条件和结论； 其次，将原命题进行否定转换，将题目中原有的条件和结论作为进一步推理的基础； 再次，从假设出发，运用课本中的定义、定理、公式以及题目中的条件，再加以逻辑推理，证明出与假设相矛盾的结论； 最后，肯定题目原有结论的正确性. 反证法的根本目标题设原有命题的不正确，通过命题的否定转换，并在否定转换的基础上运用公式、定理等条件进行矛盾揭露，使矛盾显化，从而证明原有结论的正确. 四、反证法的应用范围 高中数学中反证法应用范围十分广泛，但是课本上并未说明哪些题型适用用反证法，哪些题型该用反证法实际上并无特别规律可循，原则上来讲，因题而异，反证法的目标是简便解题步骤，缩短解题时间，实现巧解、便解的目的. 当所给题目下面求解困难，或者正面求解步骤较多时，就当考虑使用反证法来求解. 本文列举应用反证法求解的几个常见安全来具体说明反证法的应用. （一）否定性命题的证明 如题目结论出现“没有...”、“不是...”、“不能”等字样的时候，通常正面直接证明不易入手，可以使用反证法来证明. 例：证明：同一个三角形中不能同时出现两个钝角. 已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角 求证：三个内角中不能同时存在两个钝角. 证明：假设∠A，∠B，∠C三个内角中有两个内角为钝角，不妨假设∠B 90°，∠C 90°，则∠B + ∠C 180°，显然与三角形的内角等于180°相矛盾，因而，假设不成立，也即∠A，∠B，∠C中不可能同时存在有两个钝角存在. （二）唯一性命题的证明 通常在几何图形中要证明符合条件的图形有且只有一个时，即要求证明几何图形的“唯一性”，此类命题使用反证法证明更简单. 例：证明：一个圆只有一个圆心. 分析：此命题为唯一性命题，可用反证法证明. 证明：假设此圆有两个圆心A和B，在圆内任意作一条弦CD，并取CD的中点M，