九年级数学相似三角形复习教案学案(第四次).doc

三角形相似的判定 教学目标：1、理解并掌握两个相似三角形判定的方法 2、能灵活应用四种判定方法判定两个三角形相似，并能结合相似三角形的性质进行证明 3、培养学生的观察、动手探究及归纳总结的能力 重点、难点：灵活应用判定方法判定两个三角形相似，并能结合相似三角形的性质进行证明 教学内容 相似三角形的判定方法： 1、有两个角对应相等的三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形的几个基本图形 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。 分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。 例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。 证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36° 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD。求证：△DBE∽△ABC 分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。 证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：= △DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC 例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： 如图：称为“平行线型”的相似三角形 (2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。 (3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA 解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且所以△EAF∽△ECA 针对性练习： 1：已知：如图，中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④. 其中，能满足和相似的条件是（ ） 2、如图，在正方形网络上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥. 其中，②～⑥中，与三角形①相似的是（ ） A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥ 3、已知：如图，在正方形ABCD中，F是BC上的点，且BF＝3FC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCF． 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明： 证明：过D点作DK∥AB，交BC于K， ∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE 又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC 即DF：FE= BC：AC，∴DFAC=BCFE 例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2） 证明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C， ∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D， ∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME， （2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴ 评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。 命