九章算数方田.ppt

小弦=(大弦/2)+大失=b=（b/2）+h 小失=半径-（半径）-（小弦/2）=h=r-[r-(b/2)] 照这样分割下去，将所得三角形面积依次相加即得 S=1/2xbh+bh+2bh+4bh+8bh+…….. 至此，刘徽注称，“割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。”这就是说，分割到极细，将全部三角形面积加起来，则逼近弧田面积的精密之值。但是，在实际计算中，种种算法过于繁琐，如果根据精度的要求，仅仅推求田地的面积而只要大约数的话，则《九》弧田的计算方法比较简便。于是刘徽注：然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。 37、今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？ 答曰：二畝五十五步。 解读： 现有一环形田，中周长为九十二步，外周长为一百二十二步，径长五步。问此田面积是？ 答：二亩五十五步。 数学表达式： S = 1/2 * (l内 + l外) * d = 1/2 * (92 * 122) * 5 = 535(积步)，即535/240 = 2亩55步。 38、又有環田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、 三分步之二。問為田幾何？ 答曰：四畝一百五十六步、四分步之一。 術曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。 密率術曰：置中外周步數，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內分子。以中周 減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法，除之為積步，餘積步之分。以畝法除之，即畝數也。 解读： 又有一环形田，中周长为六十二又四分之三步，外周长为一百一十三又二分之一步，径长为十二又三分之二步。问此田面积是？ 答：四亩一百五十六又四分之一步。 计算方法：中外周长相加取半，然后乘以径长，就是积步。 积幂成体：立体是无数平面的积累。而这些平面的厚度，直线的宽度，点的长度都是个不可再分量。 对于平面图形而言，便是积线成面。 刘徽在注明环田时同样用了这个思想“此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也 ”刘徽是将圆环看做是无数同心圆叠加而成。若将这些圆切断后拉直，便可排成一梯形。注文中的“以盈补虚”，便是对梯形的以盈补虚而成为长方形。于是便得到环田的公式： 还田面积=1/2（外周+内周）x径 但是这里刘徽注给的公式是不对的，所以不做讨论 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。（更相减损术） 约分法：即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，即可将原来的分数化为最简分数。 例1、又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？ 答：十三分之七 例2、有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？ 答曰：得一、六十三分之五十。 合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。 合分法：两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。 例3、方田:今有九分之八，减其五分之一。问馀几何？ 　　 答曰：四十五分之三十一。 减分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一。 减分法：两分数分子与分母互乘，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。 平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，馀，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。 例4、方田:又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？ 　　 答曰：人得二钱、八分钱之一。 经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。 经分法：法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。 例5、方田:今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？ 　　 答曰：三十五分步之十二。 乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。 例6、方田:今有田广一里，从一里。问为田几何？ 　　 答曰：三顷七十五亩。　　 方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。 里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。 一顷=100亩 一积里=375亩 一亩=240积步 例7、今有圭田广十二步，