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人教版高数必修四第5讲:三角函数图像变换(学生版)—东直门仉长娜剖析
三角函数的图像变换
1、函数图象的左右平移变换
如在同一坐标系下,作出函数和的简图,并指出它们与图象之间的关系。
解析:函数的周期为,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
设,那么,
当Z取0、时,x取。所对应的五点是函数,图象上起关键作用的点。
列表:
类似地,对于函数,可列出下表:
描点作图(如下)
利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出,及,的简图(图略)。
变换规律:__________________________________________________________________________
2、函数图象的横向伸缩变换
如作函数及的简图,并指出它们与图象间的关系。
解析:函数的周期,我们来作时函数的简图。
设,那么,当Z取0、时,所对应的五点是函数图象上起关键作用的五点,这里,所以当x取0、、时,所对应的五点是函数的图象上起关键作用的五点。
列表:
函数的周期,我们来作时函数的简图。
列表:
描点作图,如图:
变换规律:__________________________________________________________________________
3、函数图象的纵向伸缩变换
如在同一坐标系中作出及的简图,并指出它们的图象与的关系。
解析:函数及的周期,我们先来作时函数的简图。
列表:
描点作图,如图:
变换规律:____________________________________________________________________________
4、函数的图象
作函数的图象主要有以下两种方法:
练习:
2.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。
例2. 如图是函数的图象,确定A、、的值。
例3. 函数f(x)=Asin(ωx+()的图象如图2-15,试依图指出
(1)f(x)的最小正周期;
(2)使f(x)=0的x的取值集合;
(3)使f(x)<0的x的取值集合;
(4)f(x)的单调递增区间和递减区间;
(5)求使f(x)取最小值的x的集合;
(6)图象的对称轴方程;
(7)图象的对称中心.
练习:1.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A0,ω0,|φ|)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)如何由函数y=2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象,试写出变换过程.
.(14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A0,ω0,|φ|,x∈R)的图象的一部分如图所示(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.
.(14分)函数y=Asin(ωx+φ) (A0,ω0,|φ|)的一段图象如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象,求直线y=与函数y=f(x)+g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.
一、选择题
1.将函数y=sin(x-)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,得到图象的解析式是( )
A.y=sin(2x+) B.y=sin(x-)
C.y=sin(x-) D.y=sin(2x-)
2.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )
A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(-) D.y=2sin(2x-)
3.函数y=sin|x|的图象是( )
4.为了得到函数y=2sin,xR的图象,只需把函数y=2sinx,xR的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
二、填空题
5.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的最大值为3,最小正周期是,初相是,则这个函数的解析式为________.
6.函数f(x)=3sin的图象为C,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).
图象C关于直线x=对称;
图象C关于点对称;
函数f(x)在区间内是增函数;
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