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课时提升作业(五十七)8.8课件
课时提升作业(五十七)
抛物线
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a=( )
A.1 B.4 C.8 D.16
【解析】选C.根据抛物线方程可得其焦点坐标为,双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有=2,解得a=8.
2.(2015·南平模拟)已知点F为抛物线y2=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( )
A.6 B.2+4 C.2 D.4+2
【解析】选C.易知抛物线的准线方程为x=2,由抛物线的定义知2-xA=|AF|=4,得xA=-2,则点A的坐标为(-2,±4).作原点O关于准线x=2的对称点B(4,0),则|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|=2 (当且仅当点P在线段AB上时取等号).
3.(2015·福州模拟) 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )
A.2± B.2+ C.±1 D.-1
【解析】选A.F设y2(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|==2,解得p=2±.
4.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
【解析】选B.如图所示,F(1,0).
因为△FAB为直角三角形,
所以|AM|=|FM|=2,
所以A(-1,2),代入-y2=1,得a2=,
所以c2=a2+1=+1=,
所以e2==6,所以e=.
5.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,
所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,
两式相减得:kAB====1,
所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.
(2)在椭圆+=1(ab0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-.
(3)在双曲线-=1(a0,b0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
(4)在抛物线y2=2px(p0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
6. 已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=
( )
A.1 B. C.2 D.3
【解析】选C.双曲线的离心率e===2,
解得=,联立得y=.
又因为S△OAB=×=,
将=代入解得p=2.
7.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比= ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.如图,抛物线的准线l的方程为x=-,因为|BF|=2,所以xB-=2,即xB=.不妨令yB0,过点A,B分别作AA1⊥l,BB1⊥l,A1,B1分别为垂足.
易知AB不可能平行于x轴,可设过M点的直线方程为x=my+,
由方程组消去y得x2-2(+m2)x+3=0.
所以根据根与系数的关系得xAxB=3.
又因为xB=,所以xA=2,因此|AA1|=,|BB1|=2.
所以====.
8.(能力挑战题)已知M是y=x2上一点,F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.10
【思路点拨】利用抛物线的定义,数形结合求解.
【解析】选B.由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H
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