五边形密铺的介绍.doc

其基本的组合方式如下。 我现在想：这按照上面的这种五边形的组合方式来设计一个程序，让这些全等的五边形按照上图的方式组合在一起，当其中一个五边形的量变化时，其它的五边形跟着变化，是否还有其它的角度和边长的五边形情况呢？不知电脑程序能否直观的演示这类图形，这就是我现在想最先用这种方法来寻找。 我用几何画板演示了如下的图形，效果不好。 相应的概念介绍： 什么是平面密铺理论 平面密铺，直观来说就是用不同的几何形状完全覆盖一个二维平面，而且图形没有重叠。 或者实际上来看，就是铺瓷砖… （利用正六边形，正三角形，正方形的密铺）（利用正六边形，正三角形，正方形的密铺） 正五边形不能密铺平面。 证明：首先，假设能够密铺平面，考虑任何一个正五边形，以下情况不会出现： 否则在如图边与顶点交汇处的一部分，不能放入另一个正五边形铺满。 否则在如图边与顶点交汇处的一部分，不能放入另一个正五边形铺满。 所以如果能铺满，应该是边对边，点对点，但是我们来思考一下某一个顶点， 正六边形能密铺平面 证明：显然。 当我们寻找其他的正n边形时，我们不妨用简单的数学来思考一下前面的结论。正五边形不能密铺平面是因为其内角整数倍不能形成360度.对于一般的正n边形，其内角和为(n-2)*180度当我们寻找其他的正n边形时，我们不妨用简单的数学来思考一下前面的结论。正五边形不能密铺平面是因为其内角整数倍不能形成360度.对于一般的正n边形，其内角和为(n-2)*180度 一个内角的大小为度.其若能密铺平面，其内角度数某整数倍为360度，即整除360，得 ,从而,即n-2被4整除，所以n-2=1，2，4. n=3，4，6 于是结合前面的分析有 5. 正n边形中，只有正三角形，正方形，正6边形能密铺平面，其余正n边形不能做到。 这就是为啥只有这几种常见的瓷砖了…… 看来，对于正多边形单密铺问题，我们已经有了完美的答案 然而，不规则的密铺能否实现？数学家于是又着手于这个问题的解决，谁知道是一个大坑… 三.我们为什么关注不规则五边形？ 虽然这个多边形平面单密铺问题从公元前就已经出现，可是其的圆满解决方案迟迟没有出现。 这一等，就等到1963年。 1963年是什么时候呢？相对论已经成熟的应用于生活，计算机技术已经开始发展，希尔伯特问题提出已经过去几十年，数学在泛函分析，数论，PDE，拓扑学，ODE极限环理论等等分支上已经取得了很多成就，然而这个多边形单密铺问题还在继续等待着人类去挖掘。 在1963，数学家证明只有三种其他不同的六边形密铺，我查了查如下： 对于不规则五边形密铺的研究，要从德国数学家Karl Reinhardt说起… 我们都知道1900年，Hilbert在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 来来来，让我们看看第18个问题: 如何用全等多面体构造空间？由德国数学家比勃马赫（1910）、莱因哈特（1928）作出部分解决。 莱因哈特是谁？就是我们要谈到的这位： Karl Reinhart(1895-1941) Karl Reinhart是一位有着独特想象力的几何学家，性格幽默，勇敢，大胆。他酷爱几何研究，对多边形的研究更是非常了得。 他在University of Marburg上过一年大学学习数学，之后一战便爆发…战争期间，他在中学担任过老师，也做著名数学家 David Hilbert的助教，从Hilbert那里学到了很多知识，也正是Hilbert激励了他继续研究他所热爱的数学。（Hilbert是最喜欢的数学家之一，颇有长者风范） 其贡献有解决了 极大面积n边形（所有边长均为1的多边形中面积最大的多边形）问题的特殊情况，提出了Smoothed octagon （可能是具有最小背包密度即打包整理最浪费空间的平面对称图形）。 其还有一个重要的发现是： 凭借出色的平面几何功底与直觉，他发现了前5种不同的 五边形密铺方式，开启了一个新的研究方向。它们分别是： 1:利用两个五边形拼成了一个类似平行四边形的图案，然后类比我们之前的平行四边形密铺方式 2:类比之前的一般四边形密铺方式，形成一个可拼接的结构 3：将正六边形密铺方式恰当分割即可3：将正六边形密铺方式恰当分割即可 4：类似2 5：这个很难想到，大概是借鉴了花瓣的形成方式和六边形密铺方式，将正六边形的各边改成棱角状然后划分成6个五边形 …… 当你以为五边形研究会一帆风顺的进行下去时，又过了毫无新发现的50年……甚至大家都产生了其实就只有这5种的感觉… 6,7,8 （ Kershner 1968 ） ——科学分析给出新方式 这次由Kershner