从变换视角提高图与构图的眼力.doc

从变换视角提高识图与构图的眼力 思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系。从关节四我们已经知道，许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也是同样具有“变换”形式的联系。本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对成关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）。这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重要的启发和引导的作用。 一、从“轴对称”视角识别图形与构造图形 1、当题目的基本背景是轴对称图形时 （1）当背景图形是基本的轴对称图形时 等腰三角形（包括等边三角形）、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等基本图形都是轴对称图形，有关这些图形的许多问题恰是由这种轴对称性衍生出来的。这时，相应的对称性就正好昭示着问题的实质并暗示着解决的途径。 例1 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA，PD分别交线段BC于点E，F且PA=PD。 （1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线） （2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。 【观察与思考】注意到点P向AD所作的垂线，既是等腰梯形ABCD的对称轴， 也是等腰三角形PAD的对称轴，即整个图形是该垂线为轴对称的。因此，凡是 是此直线（虽然没有明确地画出来）为对称的两个三角形，都必然是全等的。 解：（1）①②；③；④ （2）下面就给出证明。 。 又即为等腰三角形，。 在中， 所以。 【说明】可以看出，在证明两个轴对称的三角形全等时，用轴对称的方式寻找和叙述全等的理由，既规则有序，又简捷易行。 （2）当背景图形是复合式的轴对称图形时 有的题目，背景图形比较复杂些，但它仍是轴对称图形，这时对问题解决的思考，也要特别注意从这一轴对称性入手。 例2 已知，如图（1），。试以图中标有字母的点为端点，连结出两条新的线段，如果你连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明。 【观察与思考】容易看到并推知：整个的图形是以A，F两点所在的直线 为轴对称的，其中，D和B，C和E分别为对称点，连结出所有可连结的 线段，如图（1`），并设AF和BD交于点M，和EC交于点N，根据轴对 （1） 称的性质可知有：①②③ 解：如图（1`），连结DB，DC，BE，CE，连结AF交DB于点M，并延长交CE于点N，有结论： 。 证明如下： （1`） 在中，， 。 ，。 在中， 。 。 为的垂直平分线，当然有， 与上同理，可推得（即）， 。 【说明】正是把握住了本题背景图形的轴对称这一核心特征，使我们对问题有了最本质的认识，而后的诸项问题，都沿这一核心特征被发现和解决。 （3）沿着背景图形的轴对称性寻找需要添加的辅助线 当题目的背景图形是轴对称图形时，如果需要作辅助线才能解决，那么辅助线的作法也往往是为了更好地揭示和利用这种轴对称性。 例3 已知，如图（1），在梯形ABCD中，AD//BC，E为梯形内一点，且有EA=ED，EB=EC。 求证：四边形ABCD是等腰梯形 【观察与思考】根据图形所给的条件，可以知道整个图形应是轴 （1） 对称图形，其对称轴就是过点E且和AD垂直的直线，因此，以 这条对称轴为辅线，通过具有轴对称位置的三角形全等，来推得 AB=DC。 证明：过点E作直线，分别交AD，BC于点，如图（1`）。根据已知，也有。 在等腰三角形中，； 在等腰三角形中， 在中，， 。 又知为等腰梯形。 【说明】在本题，是图形的轴对称性启示我们作上述的辅助线，使得解法简单明快。 2、当题目的基本背景不是轴对称图形时，应善于发现和运用其中的轴对称成分 有的题目，整个背景图形不是轴对称图形，但某个或某些部分却具有轴对称性，如果我们善于并在局部恰当运用这一对称性，也会帮我们更快更好地获得解决方法。 例4 将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图（1）），得到两张三角形纸片（如图（2）），再将这两张三角形纸片摆放成如图（3）的形式，使点B，F，C，D在同一条直线上。 （1）求证：； （2）若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。 （1） （2） （3） 【观察与思考】对于（1），很容易推得结论；对于（2），根据题目的条件和图（3）的构成方式，可以看出它有以下的特征： 在图（3`）中，（即在题目的图（3）中去掉EP，EF这两条线段后剩下的部分），它是关于