全国通用2017届高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质课件理.ppt

知识清单 突破方法 栏目索引 知识清单 突破方法 栏目索引 知识清单 突破方法 栏目索引 §10.1　椭圆及其性质 高考理数 1.椭圆的标准方程 (1)焦点在x轴上:?+?=1(ab0); 焦点在y轴上:?+?=1(ab0). (2)统一方程:?+?=1(m0,n0),由m,n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上. 若焦点位置不确定,则可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A0,B0且A≠B). 知识清单 3.点P(x0,y0)和椭圆?+?=1的关系 (1)P(x0,y0)在椭圆内??+?1; (2)P(x0,y0)在椭圆上??+?=1; (3)P(x0,y0)在椭圆外??+?1. 【知识拓展】 1.离心率e=?=?=?∈(0,1),离心率越小,椭圆越圆;反之,椭圆越扁. 2.若P为椭圆上的动点,∠F1PF2=θ,称△PF1F2为焦点三角形,则: (1)?=c·|yP|=b2·?=b2tan?. (2)△PF1F2的周长=2(a+c). (3)点P为短轴端点时,∠F1PF2最大. 3.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于点(0,0)对称,则kPA·kPB=-?. 　　高考对椭圆定义的考查通常以客观题的形式出现,难度中等,考查形式主要有两种:一是根据定义判断曲线的轨迹,二是根据定义进行计算,常结合正弦定理、余弦定理等知识解焦点三角形. 例1????(2015东北三校二联,8)设F1、F2分别为椭圆?+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|?+ ?|=2?,则∠F1PF2=?(　　) A.?　????B.?　????C.?　????D.? 解析　由椭圆方程,得a=2,c=?, 设|?|=m,|?|=n.由椭圆定义知m+n=2a=4.① 因为|?+?|=2?,所以|?+?|2=12, 即m2+n2+2mncos∠F1PF2=12,② 在△F1PF2中,由余弦定理,得 m2+n2-2mncos∠F1PF2=(2c)2=12,③ 突破方法 方法1　椭圆定义的应用 ②+③,得m2+n2=12, 又由①得m2+n2+2mn=16,从而得mn=2, 将m2+n2=12,mn=2代入②,解得cos∠F1PF2=0, 所以∠F1PF2=?,故选D. 答案????D 　　求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定型,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n)的形式.解题步骤如下: ? 方法2　椭圆的标准方程 例2????(2013课标全国Ⅰ,10,5分)已知椭圆E:?+?=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E 于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为?(　　) A.?+?=1　????B.?+?=1 C.?+?=1　????D.?+?=1 解析　直线AB的斜率k=?=?, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则? ①-②得?=-?·?. 即k=-?×?, ∴?=?.　　　　　　 ③ 又a2-b2=c2=9,　　④ 由③④得a2=18,b2=9. 所以椭圆E的方程为?+?=1,故选D. 答案????D 2-1????(2015陕西西安八校二联,20,12分)如图,椭圆C:?+?=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上 顶点分别为A、B,且|AB|=?|BF|. ? (1)求椭圆C的离心率; (2)过椭圆C内一点M?的直线l交椭圆C于P、Q两点,且M为线段PQ的中点,OP⊥OQ.求 直线l的方程及椭圆C的方程. 解析　(1)由|AB|=?|BF|, 得?=?a,即4a2+4b2=5a2, ∴4a2+4(a2-c2)=5a2,∴e=?=?. (2)由(1)知椭圆C:?+?=1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2) ,∵M?是线段PQ的中点, ∴x1+x2=-?,y1+y2=?, 由?+?=1,?+?=1,得?+?=0, 即?+?=0, ∴?+?(y1-y2)=0,从而kPQ=?=2, 进而可得直线l的方程为y-?=2?,即2x-y+2=0, 由??x2+4(2x+2)2-4b2=0, 即17x2+32x+16-4b2=0. Δ=322+16×17(b2-4)0?b?. x1+x2=-?,x1x2=?. ∵OP⊥OQ,∴?·?=0, 即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0. 从而?-?+4=0,解得b=1.满足题意. ∴椭圆C的方程为?+y2=1. 　　椭圆的性质包括:范围、对称性、顶点、离心率等,常考内容是离心率,解决离心率问题的关键在于构造关于a与c的等式或不等式,同时