第二章波函数和Schrodinger方程.pptVIP

可得H(ξ)满足的方程： 三、 能级和波函数 能够避免这种情形出现的唯一方法是让级数在某一项“中止” 或“退化”为多项式，即要求H(ξ)是ξ的n次多项式. 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ2,仍然使ψ(ξ)发散。 1. 级数求解 令： 等式两边 的各次幂系数相等，得到如下递推关系 分别求 和 ，代入方程（2.7－6），整理得 该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为波动方程。 若粒子处于势场 中运动，则能量、动量关系变为： 四、势场 中运动的粒子 将其作用于波函数 得： 五、多粒子体系的 Schrodinger 方程 设体系由 N 个粒子组成，质量分别为 体系波函数记为 第 个粒子所受到的外场 粒子间的相互作用 则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为： 在讨论了波函数随时间变化的规律,即运动方程后，我们将利用运动方程来进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。 一、 几率密度随时间的变化 §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是： 取共轭 （5） （6） 将 得： 表明在体积元中粒子几率的增加等于从体积元表面流入的几率. 二、 几率流密度矢量 几率流密度矢量 几率流密度方程： 在空间闭区域τ中将上式积分，则有： 上面是定域几率守恒 当τ趋于 ∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零 使用 Gauss 定理 S ? 是体积 的表面积 表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。 （1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。 以m乘连续性方程等号两边，得到： 质量密度： （2） 质量守恒定律 质量流密度: 定义电荷密度和电流密度: （3） 电荷守恒定律 以e乘连续性方程等号两边，得到： 式右边含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。 三、波函数的标准条件 1. 根据Born统计解释， 是粒子在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求 应是 r, t的单值函数、而且是有限。 2. 根据粒子数守恒定律 波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。 波函数标准条件: 要求积分有意义， 必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数也连续。 §2.5 定态Schr?dinger方程 一、定态Schr?dinger方程 外场不含时间情况下的 Schr?dinger 方程： 可分离变量,令： 代入 两边同除以 有: 第一个方程可以解得: 第二个方程称为定态 Schr?dinger 方程 整理后,可以得到如下两个方程: 二、 Hamilton 算符的本征值方程 1. 哈密顿算符 定态 Schr?dinger 方程 可以写成： 这个方程称为哈密顿的本征值方程 Schr?dinger 方程 可以写成： 2. Hamilton 算符的本征值方程的解 其中E是常数 求满足这个方程的解。 即求满足这个方程的本征值： 相应的一系列本征函数： 这称为Hamilton 算符的本征值方程的解。 得到Schr?dinger方程的一系列特解： 这样的波函数称为定态波函数 三、定态 1. 定态波函数 定态波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： 常数 En 就是体系处于波函数 所描写的状态时的能量。 也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，定态波函数 描写的状态称为定态。 2.定态的性质 （1）粒子的能量有确定值 （2）粒子在空间几率密度与时间无关 （3）几率流密度与时间无关 Schr?dinger 方程： 此方程是一个线性方程，因此方程的一般解为： 四、Schr?dinger方程的一般解 §2.6 一维无限深势阱 一个粒子在不可透过的立方箱子中自由运动.这个三维运动可以通过分离变量法简化为三个一维的运动. 物理模型: 一、定态薛定谔方程 1. 势场 -a 0