函数的单调性及与函数有关的不等问题.doc

函数的单调性及与函数有关的不等问题 一. 函数单调性的意义： 函数的单调性是函数又一重要性质，设函数.若对于任意的 .,当时都有则是区间D上的增（减）函数，区间D为的增（减）区间。特别的当D=I时，称是单调函数。 必须了解单调性与“区间”紧密相关，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性 。 即：函数的单调性只能在定义域内讨论，且谈函数的单调性时，必须指明对应的区间。 （2）定义中的，具有任意性，证明时不可用特殊值代替。 （3）函数的单调性在比较大小、求函数最值方面都有广泛的应用。因此有是增（减） 函数，且 (),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函 数值之间的不等关系可以“正逆互推”。 （4）熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设，[a,b],那么 ①在[a,b]上是增函数； 在[a,b]上是减函数。 ②0在[a,b]上是增函数； 0在[a,b]上是减函数 需要指出的是，①的几何意义是：增(减)函数图像上任意两点连线 的斜率都大于（小于）零。 【考点专练】1.下列说法正确的是（ ） A.定义在上的函数，若存在，有，那么在上为增函数。 B..定义在上的函数，若有无穷多对，使得当时，有，那么在上为增函数。 C.若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数. D.若在区间上为增函数，且，那么。 2.（０５天津）设是函数＝的反函数，则使 成立的ｘ取值范围为（　　）　 Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　　Ｄ． 3．（０５．辽宁）已知ｙ＝是定义在Ｒ上的单调函数，实数，， ，若则（　　　） 　　Ａ．　　　　　　Ｃ．　　　Ｄ． 已知函数=在区间内是减函数，则a的取值范围 是（ ） A.a0 B.0a0.5 C.a0.5 D.0.5a1 （０６北京）已知＝　是上的增函数，那么ａ的 取值范围是（　　　） 　　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．（１，３） 6．已知＝　是上的减函数，那么ａ的取值范围是 . 7. (2010浙江)＝在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围为： 。 9.已知=，若函数在R上是增函数，求a的取值范围。 10．（０６福建）已知是周期为２的奇函数，当０＜ｘ＜１时，＝，设 ，，则（　　　） 　Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ　　　Ｂ．ｂ＜ａ＜ｃ　　　Ｃ．ｃ＜ｂ＜ａ　　Ｄ．ｃ＜ａ＜ｂ 已知定义在R上的奇函数是一个减函数，且 ， 则的值（ ） A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.以上都可能 12.已知函数，且，则的值（ ） A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.以上都可能 13.设是定义在上的单调增函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 14.若是R上的减函数，且的图像经过点和,则不等式的解集是 . 15.已知=且，若，则a的取值范围是 16.(09陕西)定义在R上的偶函数满足:对任意的有.则当时,有( ) A. B. C. D. 二. 研究函数单调性问题的一般方法： （1）在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域，有时需要将函数化简，转化为讨论 一些熟知函数的单调性。即基本初等函数性质法。 掌握下列一些单调规律对解题大有裨益： ①若，均为增(减)函数，则+在公共的定义域上仍为增（减）函数； ②若为增(减)函数，则—为减（增）函数； ③奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在其定义域 内关于原点对称的两个区间上的单调性相反。 ④互为反函数的两个函数有相同的单调性； ⑤若，均为增函数且恒正（负），则也为增（减）函数。 ⑥若为单调函数且恒正或恒负，则与单调性相反。 ⑦ 复合函数的单调规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同 的单调性则必为增函数，若具有不同的单调性则必为减函数，讨论复 合函数单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域； ②把复合函数分解成为若干个常见的基本函数，并判定其单调性； ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性. 【考点专练】１.（０５上海）若函数＝，则该函数在上是（　　　） 　　Ａ．单调递减无最小值　　　　　　　Ｂ．单调递减有最